В декабрьском номере журнала за 2005 год опубликована моя заметка о проблемах устного счета "Сбывшееся предсказание". Я считаю, что устный счет не просто полезный бытовой навык, но также инструмент самостоятельного мышления.
Отрадно, что журнал снова обратился к теме "Устного счета" (см. "Наука и жизнь" № 7, 2006 г.). Однако за пределами заметки остались некоторые вопросы, порождаемые "математической находкой преподавателя народной школы С. А. Рачинского". Кстати, эта "находка" не единственная в своем роде. Самым элементарным является известное с древности соотношение (Пифагоров треугольник): `3^2 + 4^2 = 5^2`.
Формула Рачинского - вторая по числу членов последовательность (будем их так и называть - "последовательности Рачинского"). Смутно помнил, что о существовании таких последовательностей упоминалось в одной из книг М. Гарднера, но где - не знаю. Тогда я решил сам найти способ построения "последовательностей Рачинского". Это оказалось совсем нетрудно, причем из способа построения видно, что последовательностей существует неограниченно много. Покажем на примере.
Пример 1. Найти "последовательность Рачинского" из семи членов.
Задаемся числом членов в первой половине - 4 (всегда больше!), во второй - 3. Обозначим первый член через `n`. Запишем условие равенства сумм квадратов для обеих частей:
\[n^2+(n+1)^2+ (n+2)^2+(n+3)^2=(n+4)^2+(n+5)^2+( n+6)^2\]
Упрощая, получим уравнение `n^2-18n-63=0` и из него находим `n = 21`. Следовательно,
\[21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2=2030.\]
Пример 2. Найти "последовательность Рачинского" из девяти членов.
Действуем аналогично. Из условия
\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2=(n+5)^2+(n+6)^2+(n+7)^2+( n+8)^2\]
получаем уравнение `n^2-32n-144=0` и из него находим `n=36`. То есть
\[36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2=7230.\]
Первые две последовательности также могут быть получены этим методом:
для Пифагорова треугольника: `n^2+(n+1)^2=(n +2)^2` и `n=3`;
для формулы, фигурирующей на картине Богданова-Бельского: `n^2+(n+1)^2+(n +2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2` и `n=10`.
Примечательны два обстоятельства.
1. Все суммы первых четырех "последовательностей Рачинского" кратны 5 (а две последние - и 10): 25, 365, 2030 и 7230. Почему так?
2. Разности первых членов четырех последовательностей образуют арифметическую прогрессию с `d=4`:
\[10-3=7,\] \[21-10=11,\] \[36-21=15...\]
Что дальше?
Мне кажется, любителям математики есть над чем поразмыслить и поэкспериментировать.
