Перед вами очередная научная сказка писателя, астрофизика, доктора физико-математических наук Николая Николаевича Горькавого из готовящегося к печати сборника «Создатели времён». Вы снова встретитесь с принцессой Дзинтарой и её детьми Галатеей и Андреем, которые от сказки к сказке узнают массу интересных вещей из мира науки, знакомятся с великими учёными и выдающимися открытиями.
— Сегодня я расскажу про мальчика-вундеркинда, который смог прочитать книгу, и не одну, на неизвестном ему языке,— начала принцесса Дзинтара.
— Вот это да! — заметил Андрей, хотя, если честно, он не мог себе этого представить.
— Как можно что-то читать, если не знаешь язык? — удивилась Галатея.
— Всё началось с того,— продолжала, улыбнувшись, Дзинтара,— что маленький Готфрид любил слушать занимательные рассказы отца— Фридриха Лейбница, профессора философии и морали Лейпцигского университета. О чём бы ни шла речь— о царях или полководцах, об учёных или изобретателях, о войнах на суше или на море,— всё было так интересно! Мальчик только и мечтал побыстрее научиться хорошо читать, чтобы самому погрузиться в книги, стоявшие на полках отцовской библиотеки.
Готфриду не было и семи лет, когда отец умер. Библиотеку закрыли на замок, и она стала для мальчика недосягаемой мечтой.
Однажды Готфрид нашёл в доме две книги на латыни, оставленные каким-то студентом. Мальчик только-только начал учить латинский язык в школе. Словаря для перевода латыни на родной, немецкий, язык в доме не было, а прочитать новые книги очень хотелось. Готфрид уходил в сад, садился на скамейку и пытался разобрать и понять незнакомые слова. Он был очень упорным: читал, сопоставлял события, угадывал значение непонятных слов по смыслу фразы, изучал рисунки— это тоже давало подсказки для понимания текста. И он добился своего— прочитал и понял обе книги!
— Какой молодец! — ревниво сказала Галатея.
— Готфрид учился в знаменитой Лейпцигской школе Святого Фомы. Его поразительные успехи в изучении латыни не ускользнули от школьного учителя. Однако, узнав, что мальчик читает взрослые книги, он пришёл к нему домой, потребовал отобрать их и дать ребёнку детские книги, соответст-вующие его возрасту.
Готфриду грозила участь остаться без чтения. Но в разговор вмешался друг семьи, образованный, много путешествовавший дворянин. Он не только уговорил воспитателей Лейбница не отбирать у него книги, но и настоял на том, чтобы мальчику открыли отцовскую библиотеку.
Готфрид набросился на книги словно изголодавшийся на еду. Позже он писал: «Я торжествовал, как если бы нашёл клад… Я стал читать, смотря по влечению, и наслаждался необычайным разнообразием предметов…» К десяти годам он изучил труды Платона, Плиния, Геродота и Цицерона. К двенадцати уже прекрасно знал латынь и начал понимать греческий, на котором была написана часть книг из библиотеки отца. В тринадцать— Готфрид свободно слагал стихи на латыни; в четырнадцать— стал записывать мысли в особую тетрадь. Став взрослым, Лейбниц отмечал: «То, что я записал ещё в четырнадцатилетнем возрасте, я перечитывал значительно позднее, и это чтение всегда доставляло мне живейшее чувство удовольствия».
В пятнадцать лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет, где когда-то работал его отец, а через два года перешёл в Йенский университет, где изучал математику. По знаниям Готфрид превосходил старших студентов. Уже через три года талантливый юноша закончил университетский курс и получил степень магистра. К двадцати годам он превзошёл по образованности своих профессоров и решил сдать экзамен на докторскую степень в области юриспруденции. Но когда Лейбниц накануне экзамена пришёл к декану домой, жена декана, увидев столь молодого соискателя, не пустила его в дом, заявив:
— Сначала не мешало бы отрастить бороду, а потом являться по таким делам!
Галатея и Андрей дружно рассмеялись над сварливой деканшей. А Дзинтара продолжила свой рассказ:
— Уязвлённый Лейбниц ушёл и больше не возвращался. Степень доктора он получил в другом университете, поскольку был человеком удивительно многогранным: в нём соединились таланты математика, механика, физика, философа, логика, поэта, юриста, изобретателя, языковеда, дипломата и историка.
— А в какой из наук он достиг самых выдающихся результатов? — спросил Андрей.
— Самое выдающееся достижение Лейбница — создание дифференциального исчисления. Статью на эту тему он опубликовал в 1684 году, ставшем официальным годом рождения нового метода. К этому времени другой выдающийся учёный Исаак Ньютон уже открыл ту же самую область математики, но публиковать свои труды не спешил. Великий англичанин неохотно печатал работы, так как они обычно вызывали волну критики, отвечать на которую он не хотел. Только в 1693 году Ньютон наконец опубликовал краткое изложение своей версии дифференциального исчисления.
Впоследствии между сторонниками Ньютона и Лейбница шли жаркие споры о том, кому же принадлежит приоритет. В любом случае Лейбниц независимо от Ньютона создал свой вариант нового раздела математики— математического анализа, куда входит дифференциальное и интегральное исчисление, и разработал для него символику и терминологию. Почти все его нововведения укоренились в науке и используются до сих пор. И только термин «интеграл» принадлежит ученику Лейбница, швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654—1705).
— А что такое дифференциальное исчисление? — спросила Галатея.
Дзинтара призадумалась. Дети часто задают трудные и неудобные вопросы. Но она решила не уходить от ответа.
— Арифметика и геометрия, известные с древности, помогали людям считать мешки с зерном и вычислять объёмы воды или вина в бочках, определять расстояние между объектами. Но жизнь куда многообразнее мешков и бочек. Представьте себе карету, запряжённую четвёркой лошадей, которая едет из Берлина в Лейпциг...
— Карета лакированная, а лошади с бубенчиками! — уточнила Галатея.
— Конечно, — согласилась Дзинтара. — Если мы зададимся простым вопросом: с какой скоростью едет карета? — нам не помогут ни арифметика, ни геометрия.
— Почему же,— возразил Андрей, который уже решал в школе подобные задачки. — Я возьму расстояние между Берлином и Лейпцигом, поделю его на время, которое карета провела в пути,— и получу скорость движения.
— Верно, но ты получишь среднюю скорость. А ведь карета останавливалась в пути на ночлег…
— В тёмном лесу, у костра! — уверенно заметила Галатея.
— Или у придорожной гостиницы. Или в ожидании переправы через реку. А где-то карета мчалась по хорошей дороге во весь опор.
— Убегая от разбойников, — предположил Андрей.
— Как описать такое неравномерное движение? Как математически выразить скорость кареты в данный момент времени?
— Для этого надо посмотреть на спидометр! — сообразила Галатея.
— Прекрасная идея! — улыбнулась Дзинтара. — Спидометр действительно замеряет мгновенную скорость движущегося экипажа, но нас сейчас интересует не практический результат, а общий принцип определения скорости, который, кстати, лежит в основе работы каждого спидометра.
Чтобы определить скорость кареты в каждый момент времени, надо воспользоваться способом, который предложил Андрей, — это способ деления пройденного расстояния на время, но применить его не ко всей дороге, а к очень короткому отрезку пути, по которому едет карета.
— Действительно, надо измерить, сколько метров проходит карета за секунду,— это и будет скорость кареты,— обрадованно согласился Андрей.
— Да, такой способ гораздо более точный. Но что если в данную секунду карета резко затормозит? В этом случае и секунда окажется слишком большим интервалом для правильного измерения скорости.
— Тогда нужно взять ещё меньший отрезок времени— в десятую или сотую долю секунды,— предложил Андрей.
— Вот именно по такому пути и пошёл Лейбниц, когда разрабатывал дифференциальное исчисление: для измерения скорости кареты он взял бесконечно малый отрезок путиS, который предложил обозначить какdS, и разделил его на бесконечно малый отрезок времениt, который записал какdt. Получилось, что скорость кареты V=dS/dt. Этими обозначениями до сих пор пользуются в науке.
— А где же новая область математики? — поинтересовался Андрей.
— Это и есть новая математика: величиныdS и dt называются дифференциалами от пути и времени, отношение dS/dt называется производной от пути по времени, а сам процесс взятия производной называется дифференцированием.
— И такие простые вещи считают сверхважным открытием? — удивилась Галатея.
— Конечно, потому что мы научились работать не с числами, а с их изменениями. Дифференциальное исчисление названо так по латинскому слову differentia— разность, различие. Мы ввели математические операции, которые описывают рост или уменьшение физических величин в реальном мире: берём производную по времени от пути кареты и получаем её скорость. А можем ещё раз взять производную по времени от скорости кареты— и получить её ускорение.
— Значит, мы можем описать сейчас, с каким ускорением мчатся автогонщики на своих болидах? — с энтузиазмом спросил Андрей.
— Да. Более того, если знать, как меняется ускорение гоночной машины, то можно легко найти её скорость, записав и решив так называемое дифференциальное уравнение: первая производная по времени от скорости равна ускорению машины.
— А ведь скорость тоже производная от пути…— напомнил Андрей.
— Верно, и мы можем написать уравнение в таком виде: вторая производная по времени от пути равна ускорению.
Математики нашли способы решения многих дифференциальных уравнений. С их помощью вычисляются изменения интересующих нас величин: скорости и пути гоночной машины— по её ускорению; прироста населения мира— по рождаемости или траектории спутника при его движении в ускоряющем поле гравитации Земли. Дифференциальные уравнения правят миром, только нужно научиться их правильно составлять и решать.
— Постой, мама,— перебила Дзинтару Галатея,— ты сказала, что математики умеют решать многие дифференциальные уравнения. Это означает, что какие-то уравнения решать ещё не научились?
— Конечно! — кивнула Дзинтара. — Огромное количество сложных дифференциальных уравнений не имеют аналитического решения, которое можно записать в виде комбинации математических функций вроде синуса или экспоненты. А такие системы дифференциальных уравнений, как уравнения небесной механики Ньютона, гидродинамики Навье—Стокса, электродинамики Максвелла, гравитации Эйнштейна, решены пока только для самых простых случаев. Сейчас к решению дифференциальных уравнений привлекают мощные компьютеры, и они часто позволяют получать численные решения, то есть решения не в виде аналитических функций, а в виде таблиц чисел. Но и электронные машины пасуют перед самыми сложными дифференциальными уравнениями. Главная проблема даже не в том, что дифференциальные уравнения сложно решить: в конце концов, компьютеры становятся всё мощнее и решению поддаются всё более трудные уравнения. Главная проблема, которая стоит сегодня перед учёными, особенно перед биологами и социологами, заключается в том, что мы не можем открыть дифференциальные уравнения, описывающие изменения в человеческом организме или в человеческом обществе.
— А такие уравнения существуют? — осторожно поинтересовался Андрей.
— В принципе, процессы, происходящие как в организме, так и в обществе, можно описать системой математических уравнений, но эта система невероятно сложна, и ещё никто даже не приблизился к её открытию. А если бы люди владели таким математическим аппаратом, то могли бы продлить жизнь человека или заглянуть в будущее и предотвратить многие несчастья.
Дзинтара остановилась и посмотрела на детей. Глаза у них горели.
«Кажется, дифференциальные уравнения плохо подходят для того, чтобы усыплять детей…»— озабоченно подумала она.
***
Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающая электромагнитные процессы. Получена шотландцем Джеймсом Максвеллом (1831—1879) в 1862 году.
Уравнения Эйнштейна — система уравнений, описывающая гравитационное поле как искривлённое пространство вокруг массивных тел. Открыта Альбертом Эйнштейном (1879—1955) в 1915 году.
Синус — аналитическая функция sin(x). Часто является решением дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы.
Экспонента — аналитическая функция exp(x). Часто является решением дифференциальных уравнений, описывающих растущие или затухающие процессы.
