Многие считают кроссворды слишком трудной головоломкой, потому что отгадать слово им не под силу. Но вписывать буквы в клетки нравится.
Ч. Уэзерелл. Этюды для программистов
В современном варианте покера используется "преферансная" колода из тридцати двух карт. Небольшой ее объем и отсутствие джокеров снижают долю случая и увеличивают возможности логического анализа. Напомним, что каждая из четырех мастей (пика, трефа, бубна, черва) содержит следующие карты:
туз (А) > король (К) > дама (Д) > валет (В)>десятка (10) > девятка (9) > восьмерка (8) > семерка (7).
Здесь и ниже обозначение a > b означает, что a сильнее b . Масти равноправны, обозначают ся первой буквой наименования, стоящей перед обозначением карты. Например: ПД - дама пик, Т7 - семерка треф, ЧА - туз червей и т. д.
Перечислим все названия и старшинство комбинаций карт, которые встречаются в покере.
Флеш-роял. Это пять карт одной масти, образующие так называемую "плотность". Внутри этого класса существует своя иерархия
(А, К, Д, В, 10) > (К, Д, В, 10, 9) > (Д, В, 10, 9, 8) > (В, 10, 9, 8, 7) > (10, 9, 8, 7, А).
(Иллюстрация 1)
Здесь левая - самая сильная комбинация - называется "флеш-роял Ас", а правая, наиболее слабая, - "циклический флеш-роял".
Каре. Это четыре карты одного достоинства, при этом
(Иллюстрация 2)
каре тузов > каре королей >... > каре семерок.
Цвет. Пять карт одной масти, не образующие "плотность". Самая сильная "цветная" комбинация - это (А, К, Д, В, 9).
(Иллюстрация 3)
Фул (три + два) . Три карты одного достоинства + две карты одного достоинства. Например, три короля + две десятки. При сравнении двух фулов сильнее тот, у которого старше тройка.
(Иллюстрация 4)
Тройка. Три карты одного достоинства.
(Иллюстрация 5)
Кент (стрит). Пять карт, образующие "плотность", но не одного цвета.
(Иллюстрация 6)
Доппер (два + два). Две пары карт одного достоинства (но не каре!).
(Иллюстрация 7)
Например, две девятки + две семерки. Некоторые из допперов имеют имена собственные. Так, два туза + два короля - "Бетон", а две восьмерки + две семерки - "Песок".
Двойка. Две карты одного достоинства.
(Иллюстрация 8)
Беспарье . Все остальные комбинации.
Между собой комбинации упорядочены следующим образом:
флеш-роял > каре > цвет > фул > тройка > кент > доппер > двойка > беспарье.
Опишем кратко техническую суть игры, например, между двумя участниками X и Y . Она включает в себя два этапа:
1. Раздача и торговля . Сначала игрокам раздается по пять карт (очевидно, в "усеченной" колоде остается на десять карт меньше). После этого игроки поочередно делают денежные ставки. Если ставки уравниваются (первый тур торгов), переходят к следующему этапу.
2. Мена и торговля . Каждый игрок по своему усмотрению может сбросить, не показывая сопернику, не более четырех своих карт и получить взамен столько же новых из "усеченной" колоды. После этого опять начинается поочередное повышение ставок. Если ставки уравниваются (второй тур торгов), карты открываются, и выигрывает тот, у кого сильнее карточная комбинация.
Основная проблема, с которой сталкиваются игроки X и Y , заключается в выяснении, "является ли его карточная комбинация более сильной". Отметим, что каждый игрок располагает знанием о своих сброшенных картах и своих картах на руках (всего не более девяти). Однако этого недостаточно для однозначного решения "основного вопроса", за исключением некоторых случаев. Например, если у игрока на руках "флеш-роял Ас", то ему, очевидно, некого бояться. В этой связи актуальна
Проблема. Какова самая слабая комбинация (с учетом сброшенных карт), с которой можно ничего не бояться?
При решении этой задачи полезно ввести понятие о так называемых проходных картах. Будем называть проходными картами игрока X объединение
сброшенных им карт + карты на руках, которые не участвуют в комбинации.
Данные карты никак не влияют на силу самой комбинации, однако могут доставлять ценную информацию. В частности, если игрок X имеет комбинацию каре королей и среди его проходных карт есть туз, то ему можно не опасаться каре тузов у соперника. В этом случае говорят, что туз игрока X блокирует каре тузов игрока Y . Разумеется, и сама комбинация - носитель полезных сведений о возможности наличия тех или иных комбинаций у соперника. Естествен но назвать полным набором карт игрока X объединение карт его комбинации с набором его проходных карт.
Перечислим карты определенной масти игрока X , которые ограничивают число возможных флеш-роялей (той же масти) у игрока Y :
а) 10 блокирует пять флеш-роялей (то есть все);
б) валет или 9, каждый в отдельности, блокируют четыре флеш-рояля;
в) дама или 8, каждая в отдельности, блокируют три флеш-рояля;
г) туз, король или 7, каждый в отдельности, блокируют два флеш-рояля.
Справедливо следующее
У т в е р ж д е н и е 1. Пусть у игрока X на руках находится каре десяток, а среди проходных карт находятся (В, Д, К, А). Тогда у игрока Y всегда оказывается более слабая комбинация.
В самом деле, у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку {валет, дама, король, туз} находятся среди проходных карт X . Кроме того, каждый флеш-роял содержит карту десятку. Поскольку все десятки у игрока X , то у Y не может быть никакой комбинации флеш-роял.
Среди профессиональных игроков в покер бытует мнение, что утверждение 1 и есть правильное решение поставленной выше проблемы*. Однако с эстетической точки зрения представляется возможным усилить утверждение 1, поскольку в его формулировке используются лишь четыре (из пяти!) проходные карты. Покажем, что так действительно и обстоит дело. Назовем набор из четырех или пяти проходных карт "разномастным", если в нем представлены все четыре масти. Ниже используется информация о пяти проходных картах, и соответствующий результат является усилением предыдущего.
У т в е р ж д е н и е 2. Пусть у игрока X на руках находится каре девяток, а (10, В, Д, К, А) - проходные и "разномастные". Тогда у игрока Y оказывается более слабая комбинация.
В самом деле: у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку (10, В, Д, К, А) находятся среди проходных карт. Теперь предположим, что у игрока Y есть комбинация флеш-роял. Поскольку все девятки у игрока X , то у него может быть только "флеш-роял Ас", то есть (A, К, Д, В, 10). Пусть, например, масть этой комбинации пика, тогда у игрока X заведомо не будет следующих пяти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА.
Значит, в наборе проходных карт игрока X пиковая масть не представлена. Но это противоречит условию "разномастности". Аналогичным образом устанавливается отсутствие у игрока Y комбинации флеш-роял и в других мастях. Поэтому в данной ситуации игроку X действительно нечего бояться.
Здесь возникает вопрос о возможности усиления данного результата **. Отрицательный ответ на данный вопрос содержится в следующем.
У т в е р ж д е н и е 3. Пусть у игрока X находится комбинация ниже каре девяток. Тогда у игрока Y может оказаться более сильная комбинация при любом наборе проходных карт игрока X.
В самом деле, рассмотрим последовательно возможные варианты покерных комбинаций (более слабых, чем каре девяток) на руках игрока X .
1) Каре восьмерок или каре семерок. Тогда при пяти проходных картах их явно не хватает, чтобы блокировать шесть более старших каре (от девятки до туза);
2) Цвет (например, пики). Несколько удивительно, что здесь у игрока X существует комбинация, которая в совокупности с четырьмя проходными картами блокирует все флеш-рояли и все каре у игрока Y . Например,
(ПA, ПК, ПД, П8, П7) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9.
Приведем описание таких уникальных карточных конструкций одного цвета.
Во-первых, чтобы игроку X не бояться ни одного из каре соперника, ему необходимо иметь в полном наборе представителей от всех восьми каре. Следовательно, в полном наборе (из девяти карт) лишь одно "достоинство" встречается дважды (например, 10), а остальные представлены в одном экземпляре.
Во-вторых, чтобы игроку X не бояться ни одного из пятнадцати флеш-роялей (пяти в трефе + пяти в бубне + пяти в черве) противника, необходимо иметь во множестве четырех своих проходных карт две десятки, например П10 и Б10 + пара червей, которые совместными усилиями блокируют все червовые флеш-рояли. Отметим, что согласно предыдущему абзацу в этой червовой паре уже не может встречаться карта 10, поскольку она уже дважды используется в трефе и бубне. Поэтому полный перечень всех девяти "пар убийц " задается списком:
(A, 9); (К, 8); (К, 9); (Д, 7); (Д, 8); (Д, 9); (В, 7); (В, 8); (В, 9).
Легко сообразить, что общая конструкция (с точностью до перемены всех цветов) определяется следующим образом. Проходные карты:
Т10 + Б10 + "пара убийц" (черва).
А карточная комбинация - пиковый цвет - задается как разность множеств
{А, К, Д, В, 9, 8, 7} - "пара убийц" (в пиковом окрасе).
Теперь заметим, что полученная (и обязательная!) пиковая комбинация на руках игрока X всегда меньше следующей (и возможной!) комбинации (A, К, Д, В, 9) (трефа или бубна) игрока Y .
Разбор средних и низших комбинаций совсем прост, и его проведение предоставляем читателю.
Таким образом, каре девяток с подходящим набором проходных карт оказывается той самой слабейшей комбинацией ***.
В заключение заметим, что математические вопросы можно поставить, анализируя практически любую карточную игру. Так, для игры в "Подкидного дурака" сформулируем и решим следующие задачи:
З а д а ч а 1. Пусть играют двое. Покажите, что за конечное время игра заканчивается.
Р е ш е н и е. Обозначим через 2 n общее число карт, находящихся в игре. Далее будем рассуждать по индукции.
Если n = 1, то через один ход игра, очевидно, заканчивается.
Пусть для 2 ,..., 2 n конечность продолжительности игры установлена. Рассмотрим 2 n + 2. Возможны две ситуации:
а) один игрок все время "ходит", а другой принимает. Поскольку число карт конечно, игра заканчивается за конечное число ходов;
б) если второму игроку удалось отбиться, общее количество карт уменьшается на четное число и, в силу индукции, игра завершится за конечное время.
З а д а ч а 2. Пусть играют трое - X, Y и Z. Может ли игра продолжаться вечно?
Р е ш е н и е. Может. Так, пусть в какой-то момент времени у каждого игрока на руках оказались две карты, а именно:
игрок X имеет П6 и П7;
игрок Y имеет Т8 и Т9;
игрок Z имеет Б10 и БВ; козырь червы.
При таком выборе шести разных карт у игроков нет дополнительной возможности "подкидывать" карты отбивающемуся. Это обстоятельство упрощает анализ игры.
Пусть каждый игрок при своем ходе выступает с карты наибольшего достоинства. В таком случае ни одному из игроков не удается "отбиться", и тогда возникает бесконечный циклический процесс:
X ходит - Y принимает,
затем Z ходит - X принимает,
далее Y ходит - Z принимает, и все повторяется вновь до бесконечности.
См. в номере на ту же тему
Подробности для любознательных. Теория вероятностей и покер
Комментарии к статье
▲*"Некоторые это считают психическим заболеванием. Пусть так. Но это - такое заболевание, которое превыше всякого здоровья". (А. А. Зиновьев. Иди на Голгофу).
▲**"Можно назвать и другие, не менее веские доказательства, но это - самое веское". (Медников Б. М., Меншуткин В. В. Журнал общей биологии, 1977).
▲ ***".…так, наверное, анахореты радовались любому соблазну, с которым им предстояло сразиться. (Ана Бландина. Стихотворения, рассказы, эссе)".
