Еще десять - пятнадцать лет назад вопрос, вынесенный в заголовок, прозвучал бы дико для российских студентов, преподавателей, инженеров. Действительно, традиционно высокий уровень общего и особенно математического образования в средней школе был основой для успешной учебы в вузе. Впоследствии это помогало нашим специалистам плодотворно работать в самых разных областях науки и техники по всему миру.
Увы, окончательный переход к сырьевой экономике, перевод науки, средней и высшей школы на самовыживание, массовый отъезд ученых и специалистов не могли не вызвать быстрого уничтожения предмета нашей особой гордости в советское время - отличного базового образования, в том числе математического. В последние годы преподаватели большинства технических и естественно-научных факультетов приходят в ужас от уровня подготовки первокурсников, начинающих изучать курс высшей математики. Выясняется, что после средней школы и вроде бы успешно сданных экзаменов сущность математических рассуждений остается для юношей и девушек тайной за семью печатями. Им приходится с трудом постигать азбуку логических построений. Например, научиться четко представлять, что надо доказывать утверждение как теорему или привести контрпример; что в математике существуют необходимые и достаточные условия, причины и следствия; что система уравнений и их совокупность - разные вещи; что свойства математических объектов являются предметом исследования; что понятие равносильности неравенств или уравнений не заучивается, а формулируется самостоятельно. Все эти смысловые тонкости и составляют понятие математической культуры. В ее основе - четкая логика вывода, доказательства. Логическое мышление необходимо в большинстве видов деятельности, от бизнеса до программирования.
Естественно, сложившаяся ситуация порождает попытки исправить положение - например, с помощью частных школ. Однако для большинства российских семей, стремящихся дать детям хорошее образование, реальная помощь - это книги. Удачное учебное пособие может восполнить пробелы в изучении математики в школе, сделать более понятным учебник. Одна из таких, пока еще редких, книг - "Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математикой" А. Купиллари (Москва: Техносфера, 2002). Логика математических рассуждений раскрывается в ней на множестве простых и ясных примеров. Самостоятельная работа над этой книгой и над обычными школьными учебниками дает возможность подготовиться и к поступлению в вуз, и к учебе в нем. Книга закладывает фундамент логического подхода, без которого заучивание разрозненных формул и натаскивание на решение задач лишь порождают у абитуриентов ощущение неспособности к изучению предмета. Дополнение в конце книги перебрасывает мостик от школьной математики к высшей. Учебное пособие, вышедшее в серии "Мир математики" издательства "Техносфера", открывает своего рода библиотечку старшеклассника и первокурсника, нужную именно сейчас.
В заключение - небольшой пример логического построения из книги "Трудности доказательств".
КОНТРПРИМЕРЫ
Разбор примеров очень полезен, когда мы пытаемся освоить новое понятие, нащупать правильный путь решения задачи или объяснить доказанный результат. Однако пример нельзя использовать для доказательства истинности утверждения.
Посмотрим, что происходит, когда мы свои утверждения подкрепляем всего лишь примерами. Можно было бы заявить, что для любых вещественных чисел а и b справедливо равенство
(а + b)2 = а2 + b2.
А в качестве доказательства такого "факта" предъявить конкретную пару чисел, удовлетворяющую этому соотношению. Действительно, если а = 0, а b = 1, то
(а + b)2 = (0 + 1)2 = 1,
a2 + b2= 02 + 12 = 1.
Следовательно, равенство (а + b)2 = а2 + b2 верно.
Более того, если нам скажут, что одного примера недостаточно, мы можем предъявить еще несколько: a = 0, b = -1; а = -4, b = 0; а = p, b = 0 и т. д. Легко заметить, что одно из чисел в предъявленных парах всегда равно 0. Однако мы утверждали, что равенство справедливо для любой пары чисел. А что будет, если мы подставим в равенство а = 1 и b = 2?
(а + b)2 = (1 + 2)2 = 9,
а2 + b2 = 12 + 22 = 5.
В этом случае, очевидно, равенство не выполняется. Несмотря на большое количество примеров, которые, казалось бы, подтверждают равенство, мы нашли один, который ему противоречит, то есть контрпример. Тем не менее его вполне достаточно для опровержения утверждения. Действительно, мы говорили, что равенство верно для всех пар вещественных чисел. Значит, если найдется хотя бы одна пара, не удовлетворяющая равенству, наше утверждение ложно.
