ИНЖЕНЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ДРЕВНЕЙ ЗАДАЧИ
Задача о квадратуре круга, или, иначе говоря, о нахождении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу, является одной из самых древних математических задач.
О вычислении квадратуры круга впервые упоминается в папирусе, написанном около 2000 лет до и. э. В этом папирусе, озаглавленном «Наставление, как достигнуть знания всех темных (трудных, непонятных вещей). (кусок папируса вырван). всех тайн, которые скрывают в себе вещи.», дается правило для приближенного решения задачи о квадратуре круга. Согласно сведениям, содержащимся в папирусе, сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра круга, то есть:
Откуда:
то есть вполне приемлемое по тем временам для практики значение. (Здесь мы сделали скачок более чем в 33 столетия и воспользовались обозначением отношения длины окружности к ее диаметру через, и - первую букву греческого слова «периферия» - круг. Это обозначение будет введено только в 1706 году английским математиком У. Джонсоном, а станет общепризнанным еще позднее, после работ Л. Эйлера 1736 года.)
В V веке до н. э. Гиппокриту Хиосскому удалось преобразовать криволинейную фигуру (гиппокритову луночку) в равновеликий ей многоугольник. А так, как многоугольник преобразовать в квадрат не представляет труда, то, по сути дела, была решена задача ее квадратуры. Рассуждал он приблизительно так. На отрезке АВ, как на диаметре (см. рисунок 1). строим полукруг АСВ. Далее, из точки О - середины АВ восстанавливаем перпендикуляр ОС. Соединяем отрезками точку С с точками А и В. Отрезок СВ будет стороной квадрата, вписанного в круг, а площадь прямоугольника АСВ будет равняться половине этого квадрата. На отрезке СВ, как на диаметре, опишем еще полукруг СЕВ. Применяя к прямоугольному треугольнику АСВ теорему Пифагора, получаем:
АВ^2 = АС^2 + СВ^2 = 2СВ^2 (1)
На основании того, что площади кругов от носятся между собой, как квадраты их диаметров, будем иметь - площадь круга АСВ площадь круга СЕВ = АВ^2 x СВ^2, (2) или, учитывая (1)
площадь круга АСВ площадь круга СЕВ= = 2:1, (3)
откуда площадь круга АСВ = 2 площадям круга
СЕВ, (4)
тогда:
площадь полукруга АСВ = 2 площадям полукруга СЕВ, (5)
следовательно, площадь сектора ОСВ = площади полукруга СЕВ. (6)
Вычитая из левой и правой частей равенства (6) сегмент CDB, получим, что площадь 
равняется площади луночки CDBE. Построить квадрат, равновеликий данному треугольнику, с помощью циркуля и линейки труда не представляет.
Итак, была найдена квадратура некоторой фигуры, образованной дугами двух кругов. Это решение окрылило древних геометров надеждой, что с помощью циркуля и линейки удастся определить, и квадратуру круга.
В V веке до н. э. древнегреческим математикам уже была известна квадратриса. Представьте себе квадрат ABCD (рис. 2). Пусть отрезок АВ движется равномерно со скоростью v сверху вниз, оставаясь параллельным CD, и одновременно отрезок АС начинает вращаться вокруг точки С с такой скоростью, что, когда отрезок АВ совместится с отрезком CD, то и отрезок АС, повернувшись на 90°, совместится с отрезком CD. При этом точка М, лежащая на пересечении перемещающихся отрезков АВ, и АС, опишет кривую, которая называется квадратрисой. Если принять направления СА и CD за оси координат и обозначить их соответственно через ОХ и ОУ, то координата точки М - х, и у будут связаны соотношением:
В IV веке до н. э. Динострат использовал квадратрису для точного решения задачи квадратуры круга. Для решения задачи достаточно определить координаты точки F - координаты нижнего конца квадратрисы. Ордината точки F равна нулю, а абсцисса X0 находится предельным переходом
Откуда, зная отрезок х0, можно построить квадрат, равновеликий кругу радиуса х0. Решение при этом получается не приближенное, а точное! Но. квадратрису нельзя построить с помощью циркуля и линейки!
Получение квадратуры гиппокритовых луночек, точнее, решение квадратуры круга с помощью квадратрисы, - все это предвещало скорое решение и квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.
Время шло, однако решения не находилось.
В XVI, и XVII веках квадратура круга вновь занимает умы большого числа ученых и еще большего числа людей, не имеющих отношения к науке.
Поток присылаемых в Парижскую Академию наук «решений» был столь велик, а интуитивное убеждение ведущих математиков в том, что квадратуру круга нельзя построить с помощью циркуля и линейки, столь определенно, что в 1775 году академия принимает решение не рассматривать поступающие в ее адрес решения задачи о квадратуре круга (так же, как и решения двух других знаменитых задач древности - трисекции угла и задачи об удвоении куба). Необходимо только отметить, что, принимая такое решение, академия не располагала доказательством невозможности решения задачи о квадратуре круга.
История этой одной из самых древних и самых знаменитых задач закончилась относительно недавно - в 1882 году, когда немецкому математику Фердинанду фон Линдеману удалось наконец вполне строго доказать, что задача о квадратуре круга принципиально неразрешима при помощи циркуля и линейки. Доказательство это очень сложное. Оно сводится к доказательству того, что ум и n являются числами трансцендентными, то есть такими, которые не могут быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.
Но тем не менее задача полностью не исчерпала себя. Появляются новые приближенные решения, отличающиеся от предшествующих либо точностью, либо простотой, либо элегантностью. Ниже приводится предложенный авторами статьи общий способ построения квадратуры круга с любой степенью точности.
Состоит он в следующем. Представляем число, π в виде неправильной дроби с заданной точностью, например, π = 22/7. Тогда задача сводится к нахождению квадрата со стороной а, площадь которого а^2 будет равна площади круга радиусом R:
Умножим числитель и знаменатель правой части равенства на знаменатель
Как доказал еще Эйлер, любое целое число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратов. Поэтому и число 1)54 можно представить в виде суммы нескольких квадратов (не более чем 4):
154 = 12^2+ 3^2+ I^2.
Такое построение легко выполняется с помощью теоремы Пифагора (см. рисунок 3). Итак, если круг имеет радиус, равный 7, то величина стороны равновеликого квадрата (с заданной точностью) будет
Если необходимо повысить точность построения, то берем более точное значение л, например,
Проведя аналогичные преобразования, получим,
При радиусе круга R=113 получаем, 
Точность данного решения уже на несколько порядков превышает возможность любого графического построения.
Желающим более подробно изучить вопрос рекомендуем следующие книги:
Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. М.. 1963.
Кыпман Ф. История числа π. М., 1971.
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Перевод с англ. «Мир», М., 1971. Гл. 41.
