Благодарен вашему журналу за публикацию моего материала о признаке делимости целых чисел на 7 (см. "Наука и жизнь" № 10, 1997 г.). Рискну предложить еще один новый признак делимости, но уже на 8.
Я перелистал много книг по занимательной математике, но такого признака не нашел нигде.
Общепринятый признак делимости на 8 выглядит так: число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.
Этот способ деления основан на том, что все числа, кратные 1000, делятся на 8 без остатка.
Значит, определение признака делимости на 8 любых многозначных целых чисел сводится в итоге к определению признака делимости на 8 трехзначных чисел.
Трехзначные числа и будем рассматривать.
Б. А. Кордемский сводит делимость уже трехзначных чисел к делимости двузначных (образованных цифрами сотен и десятков): "На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4".
Он приводит пример с числом 592. Применяя к нему признак делимости, получаем:
59 + 1 = 60,
где 1 - это 2:2, половина числа единиц.
Число 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8 без остатка.
При данном методе определения остатка от деления надо учитывать, что трехзначные числа, оканчивающиеся нечетной цифрой (1, 3, 5, 7, 9), надо сначала "округлить" в разряде единиц до ближайшей большей или меньшей четной цифры и в конечном результате опять же учесть эту единицу, то есть прибавить ее или отнять. Это первое.
Второе: в некоторых случаях сумма двузначного числа, образованного цифрами сотен и десятков, и половины единиц будет также трехзначным числом, что опять же не совсем удобно. Это будет происходить с рядом чисел в промежутке от 968 до 999.
Однако всех этих неудобств - прибавления (вычитания) 1 и оперирования трехзначными числами - можно избежать.
Вспомним, что четное число сотен - 2, 4, 6, 8 (200, 400, 600, 800) делится на 8 без остатка. Следовательно, у таких, к примеру, чисел, как 059, 237, 461, 632, 844, определить остаток от деления на 8 можно сразу по двузначному числу, составленному из десятков и единиц, то есть по числам 59, 37, 61, 32, 44. Достаточно в уме разделить эти двузначные числа на 8.
Если цифры сотен в трехзначных исходных числах нечетны (1, 3, 5, 7, 9), то опять же делим на 8 двузначные числа, образованные десятками и единицами, но в этом случае прибавляем (или отнимаем) к двузначным числам цифру 4. Этот факт следует из того, что все целые нечетные сотни (100, 300, 500, 700, 900) при делении на 8 дают один остаток - 4.
Для примера возьмем числа 165, 371, 587, 716, 923. "Превратим" их в двузначные числа, прибавляя (можно отнимая) 4:
69, 75, 91, 20, 27.
Делить эти двузначные числа на 8 опять же просто. Остатки от делений и будут остатками от деления на 8 исходных трехзначных чисел.
А как поступить, если трехзначное число 997?
Выше говорилось, что цифру 4 можно не только прибавлять, но и отнимать от двузначного числа. Значит, делить на 8 будем уже число 93: 97- 4 = 93.
Так происходит "избавление" от трехзначных чисел.
Обобщая все вышесказанное, алгоритм упрощенного признака делимости на 8 целых чисел можно записать так: отделяем, отсчитывая справа, три цифры исходного числа; если третья справа цифра четная (0, 2, 4, 6, 8), то делим на 8 только число, образованное двумя крайними правыми цифрами; остаток от этого деления и будет остатком от деления на 8 всего исходного числа; если третья справа цифра в исходном числе нечетная (1, 3, 5, 7, 9), делим на 8 число, образованное двумя крайними правыми цифрами, плюс (минус) 4; остаток от деления этой суммы и даст остаток от деления на 8 всего исходного целого числа.
Как видно, этот признак делимости совсем прост, и для его освоения понадобятся минимальные усилия и знание элементарной арифметики.
Литература
Кордемский Б. А. Математическая смекалка. М., 1991.
Воробьев Н. Н. Признаки делимости. М., 1980.
Гарднер М. Математические досуги. М., 1995.
