Впервые таблица Пифагора примерно в том же виде, в каком ее печатают на обложках школьных тетрадей, но в ионийской нумерации, появилась в сочинении неопифагорейца Никомаха Геразского (I-II вв. н. э.) "Введение в арифметику". По словам Никомаха, эта таблица восходит "к самому Пифагору". Еще более древние таблицы умножения обнаружены на месопотамских глиняных табличках - их "возраст" около 5 тысяч лет.
Таблицу Пифагора можно расширять вправо и вниз до бесконечности, соблюдая единственное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.
Расширенные таблицы умножения существуют давно. Так, например, в первой печатной математической книге на русском языке "Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи" (Москва, 1682) имеется таблица умножения чисел от 1x1 до 100x100. (Ее название приводит И. Я. Депман в своей книге "История арифметики". - М.: Просвещение, 1965, с. 190.)
Таблица умножения скрывает в себе много замечательных математических закономерностей, поиск которых способен превратиться в увлекательное занятие, сулящее немало сюрпризов.
К изучению свойств расширенной таблицы Пифагора можно привлечь компьютер. Каждое число таблицы изобразим точкой (или клеткой) координатной плоскости монитора и в соответствии со свойствами чисел окрасим точки каким-либо цветом. Это реализуется с помощью шаблона программы, написанной на языке Turbo Basic version 1.1.
screen 12
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),15,bf
if условие then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),1,bf
next m,n
При исполнении программы каждое число p расширенной таблицы Пифагора 120x120, находящееся на пересечении n-го столбца и m-й строки, будет изображаться белой клеткой, а числа, удовлетворяющие заданному в программе условию, - синими.
Так, на рис. 1 (программа 1) синим цветом выделены квадратные числа таблицы Пифагора: 1, 4, 9, 16, …, n2,… , зеленым - треугольные: 1, 3, 6, 10, …, 1/2 n(n+1),… красным - числа одновременно и квадратные и треугольные: 1, 36, 1225, 41616 и т.д.
Чтобы получить представление о том, как в таблице Пифагора расположены числа, дающие одинаковые остатки при делении, например на 5, закрасим числа, дающие остатки 0, 1, 2, 3, 4, каждое своим цветом. Как это ни удивительно, но таблица Пифагора оказывается расчленен ной на совершенно одинаковые по раскраске квадраты (рис. 2, программа 2).
Аналогичное разбиение получается при делении чисел таблицы на любое другое натуральное число k, в чем легко убедиться, заменив в программе число 5 на него.
Благодаря свойству периодичности таблицы Пифагора по остаткам на экране возникают разнообразные мозаики. Очевидно, чем больше k, тем больше будет остатков r, тем больше потребуется цветов. Чтобы узоры не были слишком пестрыми, ограничимся, например, тремя цветами. Для этого остатки сгруппируем по модулю 3, то есть первым цветом закрасим числа таблицы с остатками 1, 4, 7, 10.., вторым - числа с остатками 2, 5, 8, 11.., а третьим - числа, кратные 3 (рис.3, программа 3).
Можно расчленить любую из этих мозаик на три одноцветные, дополняющие одна другую до полной мозаики. Каждая из них в отдельности тоже представляет интерес (рис.4, программа 4).
Еще один вариант трехцветных мозаик приведен на рис. 5 (программа 5). Здесь для большей симметрии одинаковым цветом закрашены не только числа с одинаковым остатком r, но и числа с остатком, дополняющим r до k.
Интересные мозаики возникают и тогда, когда красят не все числа, а выборочно. Например, трехцветный узор на рис. 6 (программа 6).
Кружевной монохромный узор (рис.7, программа 7) возникает, если во всей таблице закрасить одинаковым цветом только числа, дающие остатки, сравнимые с одним и тем же натуральным числом.
А если в программу включить генератор случайных чисел для определения размеров квадратов k, лежащих в периоде номеров расширенной таблицы Пифагора и номеров цвета c, то с помощью компьютера таблица превратится в своеобразный калейдоскоп удивительных и неповторяющихся узоров (рис. 8, программа 8).
На рис. 9 (программа 9) показано, как в таблице Пифагора 32x32 чередуются числа нечетных и четных сотен. Здесь каждое число изображено клеткой синего или зеленого цвета. Причем числа первой, третьей, пятой и т. д. сотни закрашены синим, а числа второй, четвертой, шестой и т.д. - зеленым. Ясно, что если произведение n x m постоянно, то между числами существует обратная пропорциональность, поэтому чередующиеся синие и зеленые полосы имеют гиперболическую форму.
С увеличением произведения n x m ширина полос уменьшается, а затем полосы и вовсе разрываются и распадаются на одноцветные островки, которые группируются с островками того же цвета, но из другой сотни, образуя симметричные формы (рис. 10, программа 10). Здесь каждое число таблицы 480x480 изображено точкой-пикселем. Загадочным образом таблица Пифагора не-ожиданно превращается в периодическую структуру. Интересно, чем это можно объяснить?
Если вы внимательно и терпеливо займетесь изучением свойств таблицы Пифагора, то, несомненно, отыщете новые, не менее красивые узоры на основе этой древней числовой схемы.
ПРОГРАММЫ
Построение таблиц
1. "Квадратные и треугольные числа"
screen 12
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf
q=int(sqr(p))^2
if p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,bf
t=int(sqr(2*p))
if p=t*(t+1)/2 then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),2,bf
t=int(sqr(2*p))
if p=t*(t+1)/2 and p=q then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),4,bf
next m,n
2. "Остатки по модулю 5"
screen 12
for n=1 to 60
for m=1 to 60
p=m*n
c=p mod 5
line (8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6), c+9,bf
next m,n
3. "Трехцветные мозаики по остаткам"
screen 12
for k=1 to 50
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
c=r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 3*c+9,bf
next m,n,k
4. "Разложенные мозаики"
screen 12
for k=2 to 29 step 3
cls
for n=1 to 150
for m=1 to k
p=m*n
r=p mod k
c=r mod 3
line(4*n,4*m+165*c)-(4*n+ +2,4*m+165*c+2),3*c+9,bf
next m,n,k
5. "Трехцветные мозаики с дополнениями"
screen 12
for k=1 to 50
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r>k/2 then r=k-r
c= r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), c,bf
next m,n,k
6. "Трехцветные мозаики - не плотные"
screen 12
for k=1 to 50
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r=1 or r=k-1 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),9,bf
if r=k\2 or r=k-k\2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 12,bf
if r=k\4 or r=k-k\4 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), 15,bf
next m,n,k
7. "Монохромный узор"
screen 12
for k=1 to 50 step 3
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r mod 3=2 then line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),14,bf
next m,n,k
8. "Калейдоскоп узоров"
screen 12
for i=1 to 50
c(1)=int(rnd(1)*6)
1 c(2)=int(rnd(1)*11)
if c(2)=c(1) then goto 1
2 c(0)=int(rnd(1)*16)
if c(0)=c(1) or c(0)=c(2) then 2
3 k=int(rnd(1)*43)+7
if k mod 3=0 then 3
for z=1 to 1000000
next z
cls
for n=1 to 120
for m=1 to 120
p=m*n
r=p mod k
if r>k/2 then r=k-r
c= r mod 3
line(4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2), c(c),bf
next m,n,i
9."Чередование сотен"
screen 12
for n=1 to 60
for m=1 to 60
p=m*n
c=int(p\100) mod 2+1
line(8*n,8*m)-(8*n+6,8*m+6), c,bf
next m,n
10. "Чередование сотен точечное"
screen 12
for n=1 to 480
for m=1 to 480
p=n*m
p=int(p/100)
c=p mod 2+1
pset (n,m),c
next m,n
