О математике в школе
— Николай, вы автор идеи и «отец-основатель» ресурса, который профессиональное сообщество и по значимости и по качеству сравнивает с легендарной «Занимательной математикой» Перельмана. При этом ваши «Этюды» адресованы совершенно другому миру. Что изменилось по сравнению с «эпохой Перельмана»?
— На наш взгляд, сейчас надо слегка навязывать молодежи образованность. Именно сейчас, потому что есть такая закономерность: чем выше в обществе уровень образованности, тем меньше нужно «рюшечек» и «завлекалок», чтобы донести какую-то информацию до детей. В умозрительной идеальной ситуации можно просто написать формулу, и всем это будет интересно. Но когда общий уровень образованности снижается, доносить информацию становится труднее. Если ребёнок не понимает красоты математики или зачем она нужна, приходится придумывать какие-то развлекательные формы, чтобы показать ему на более простом, чем формула, уровне, зачем всё это нужно: зачем он в школе проходит трапецию, геометрические построения…
— Неужели можно обосновать, зачем в школе проходят каждую конкретную тему?
— Про любую конкретную, отдельно взятую тему можно сказать, что её в школе проходить не обязательно. Ну, за исключением арифметики. Школьный курс математики, по большому счёту, нужен затем, чтобы научить детей логически мыслить и корректно, аккуратно излагать свои мысли: из утверждения уметь выводить следствие, отличать верное высказывание от ложного. Но если попытаться подать это школьнику именно в таком виде, то интерес к изучению математики у него не проснётся. Поэтому приходится идти на хитрость: показывать что-то красивое, где применяется математика, в надежде, что ему станет интересно и он захочет её изучать. Популяризировать математику особенно сложно, потому что сложно красиво представить её вне формул. И ещё один момент. Пусть литераторы меня осудят, но даже если вы пропустили и не прочли Толстого, вы затем вполне можете читать и понимать Чехова. А школьный курс математики требует хорошего понимания на каждом этапе. Если ученик не выучил дроби, то что бы он дальше ни пытался учить, без сложения дробей он никуда не продвинется. Важно, чтобы на каждом этапе рядом с ребёнком был хороший учитель. А так как у школы свои проблемы, ей этот непрерывно высокий уровень обеспечивать очень сложно; поэтому математику дети чаще всего знают плохо. Раньше на арифметику отводилось три года, после чего дети умели выполнять действия с дробями. Сейчас программа изменилась, уроков в год даётся меньше, арифметика вышла за пределы начальной школы, её проходят уже и в средней, но к концу школы многие дети всё равно не умеют складывать дроби.
— Сейчас качество математического образования в школе начали оценивать с помощью ЕГЭ. Может быть, это поможет?
— Я считаю, что тесты к нашей системе образования неприменимы. Надо либо менять систему образования под них, либо изживать тесты.
— Почему?
— Во-первых, у нас детей пока ещё учат решать задачи. А в тестах не нужно решать задачи. Во-вторых, в России не существует тестологии. Тестология — это отдельная большая наука, она имеет отношение не к наполнению, а к самому устройству теста. Например, существует теорема о том, что невозможно с помощью одного короткого теста (тут ещё надо определять, что такое короткий тест) одновременно ранжировать детей и по вертикали и по горизонтали. То есть по горизонтали проверить, что он знает и ту тему и другую (задача выпускного экзамена), а по вертикали — что один ребёнок может лучше продолжить образование, чем другой (задача вступительного экзамена). В России серьёзной научной школы тестологии нет. Во всяком случае, я такого места, где бы ею долго и всерьёз занимались, не знаю.
— Чем же следует мерить качество математического образования?
— На мой взгляд, в образовании вообще невозможны неотложенные измерения. Я считаю, что одна из лучших систем оценки учителя была использована фондом Сороса в 1990-е: уже в студенческие времена, прожив какое-то время после школы, бывшие ученики оценивали, сколько им дал учитель. Ещё можно посмотреть, сколько через много лет стало математиков, сколько инженеров, технически грамотных людей. Но это тоже отложенный результат.
— Рискованное дело — реформа образования: если мы получим отложенный результат и он окажется отрицательным, то мы потеряли много времени и ресурсов.
— Да. Именно поэтому в образовании нельзя делать революции. Если советская система — я не говорю, что она была хорошей или плохой, — но если она показала, что работает, то не надо делать резких движений. Надо аккуратно, по чуть-чуть менять и смотреть, лучше стало или хуже. А когда что-то в образовании меняется резко, результат абсолютно непредсказуем, потому что, по моему глубокому убеждению, немедленно его померить нельзя.
— Что худшее может случиться с математическим образованием?
— Дети после школы не будут уметь считать и не смогут отличить правильное утверждение от неправильного.
О математике без формул
— Кто адресат ваших материалов? У них есть какое-то фиксированное место в школьной программе или в линейке «школа — вуз»?
— Нет. Само название нашего продукта — «Математические этюды» — говорит о том, что это отдельные зарисовки, основная цель которых — заинтересовать. Кого именно? Да кого угодно. Фильмы «многослойные», они рассчитаны на то, что их будет смотреть аудитория разного уровня подготовки. Основной контингент, конечно, школьники и школьные учителя. Но и школьники бывают разные: мотивированные и немотивированные. Для немотивированных школьников мы стараемся делать фильмы так, чтобы они, посмотрев, начали чуть больше уважать математику, чтобы она им понравилась. Мотивированный школьник найдёт там, что подоказывать или изучить глубже. Школьный учитель — чем можно заниматься с детьми на уроке. Наконец, даже профессиональные математики некоторых из этих сюжетов не знают и открывают для себя что-то новое.
— Обычному среднему учителю легко воспользоваться вашими фильмами?
— Очень. Все фильмы выложены на сайт, каждый снабжён научно-популярной статьёй со ссылками и со всей литературой. Судя по отзывам учителей на сайте, им нравится. Не могу сказать, что фильмами пользуются в каждой школе, но письма приходят из разных уголков России, на сайте бывает порядка десяти тысяч людей в день: это и те, кто смотрит, и те, кто скачивает ролики.
— Вы как-нибудь оцениваете эффективность этих роликов в обучении математике?
— Так вопрос не стоит. Показывая наши фильмы, не надо думать, что вы таким образом учите кого-либо математике. У них нет такой цели. Их цель — вовлекать и популяризировать. Учат математике на уроках: доказывать теоремы, применять формулы, рассуждать. Мы лишь помогаем учителю сделать этот процесс более интересным для детей. Если ребёнок заинтересуется, он и сам многое выучит.
— У вас очень много сюжетов о прикладном, инженерном применении математики. А что такое математика сама по себе в отрыве от прикладной науки?
— За ответом на этот вопрос я бы отослал к статьям «отца русского кораблестроения» академика Алексея Николаевича Крылова «Значение математики для кораблестроения» и «Прикладная математика и техника». Он пишет, что математика — это инструментарий в мастерской, куда приходит учёный или инженер, чтобы выбрать инструмент, подходящий для решения именно его задачи. Наработка этого инструментария, его развитие — одна из задач математики.
— Неспециалиста может удивить, что математика вообще развивается, она кажется незыблемой и вечной.
— Да, и многие дети считают, что математика закончилась во времена Пифагора. Между тем множество примеров показывают, что математика — живая наука: есть много задач, которые по своей постановке будут понятны даже школьникам, но учёными до сих пор не решены. Например, задача бильярдной траектории в треугольнике. Бильярдные траектории — это такие, что если вы выпустили шар, он несколько раз отскакивает поочерёдно от разных бортов, а затем приходит в исходную точку с исходным направлением и начинает «кататься» по тому же пути. Так вот оказывается, что в остроугольном треугольнике бильярдную траекторию построить очень просто; в прямоугольном — почти все траектории, которые идут параллельно катету, тоже бильярдные, но до сих пор неизвестно, существует ли хотя бы одна бильярдная траектория в любом тупоугольном треугольнике. Очень много нерешённых задач про развёртки, а есть задачи, решённые совсем недавно. Мы приводим одну из них, про развёртку в виде латинского креста, на сайте. С латинским крестом математики разобрались, а в общем случае — ещё нет. Допустим, известно, что из, условно говоря, некоторого конкретного куска бумаги можно сложить выпуклые многогранники (на этот вопрос отвечает неконструктивный критерий А. Д. Александрова), но как это делать и сколько их теоретически можно сложить, — до сих пор не решённая задача.
— А какое-нибудь народнохозяйственное значение тематика развёрток имеет?
— Непосредственное. Например, почему некоторые соки разлиты в пакеты со скруглёнными углами? Оказывается, скруглённые углы позволяют сделать пакет с тем же внутренним объёмом из чуть меньшего куска картона. Математика изучает жизнь. Мы находим те случаи, когда можем показать применения математики понятно для всех. Вот, например: камень застревает в колесе и вылетает после того, как колесо сделает несколько оборотов. Куда он полетит — по направлению движения колеса или против? Большинство детей говорят: против. Хотя на самом деле все дети знают, что камень летит по направлению движения. Когда катаешься на велосипеде в плохую погоду, если бы не грязевые щитки, вся спина была бы испачкана. Но это — бытовое знание, а существует ещё и математическое объяснение, мы приводим его на сайте в этюде про циклоиду. Ещё пример из жизни: все эскалаторы в нашем метро расположены под углом 30 градусов, так что, зная расстояние между фонарями и считая фонари, можно самому померить, на какой глубине какая станция расположена. Или ещё: покупая апельсины на вес, мы платим в основном за кожуру.
— Почему за кожуру?
— Потому что так устроен шар: основной объём шара сосредоточен вблизи его поверхности.
О языке популярной науки
— Диск «Математические этюды» оформлен весело и современно. Но я вижу у вас ещё один диск, с обложкой в ретростиле, немного суховатой и с заголовком «Вестник опытной физики и элементарной математики».
— Многие читатели «Науки и жизни» наверняка знают журнал «Квант» 70-х годов прошлого века, научно-популярный физико-математический журнал. «Вестник...» — его «предок», он был первым научно-популярным физико-математическим журналом, который ориентировался на школьников и школьных учителей. В августе этого года исполнилось 125 лет со дня его первого выпуска. Он чуть попроще, чем «Квант», потому что наука и соответственно школьная программа тогда были попроще, но до сих пор очень полезен и школьникам и учителям: там очень хороший задачный раздел, есть интересные научно-популярные статьи. По физике некоторые материалы, конечно, устарели. Но большинство статей по математике написаны очень хорошо. Раньше этот журнал было сложно найти и вообще о нём мало кто знал. Мы узнали о нём от Игоря Фёдоровича Шарыгина, известного школьного геометра, полностью оцифровали, и теперь он выложен в интернете, весь целиком, в открытом доступе, а диски с ним мы стараемся рассылать школьным учителям и в библиотеки по возможности бесплатно.
— Какие ещё проекты у вас в разработке?
— Сейчас мы занимаемся оцифровкой всех научно-популярных книг издательства «Матезис». Оно работало в Одессе с 1904 по 1925 год и выпускало научно-популярные книги по физике, химии, математике — по естественно-научному циклу. То, что мы уже оцифровали, лежит в открытом доступе на сайте mathesis.ru, любой желающий может эти материалы скачать, другие книги ещё цифруются. Хочется надеяться, что к следующему году мы закончим этот проект и тоже выпустим диск.
— Почему вы занимаетесь изданиями именно этого периода?
— Хорошей научно-популярной продукции было много и позже, уже в советское время. Но то, что выходило в Советском Союзе, уже оцифровано, есть сайт math.ru, где собрана уникальная библиотека советских научно-популярных изданий. А наши материалы, если бы не мы, ещё бы долго лежали и ждали своего часа.
— И всё же вы занимаетесь ими не из исторического, «музейного» интереса…
— …а потому, что они полезны в школе. Кроме прочего, эти книги просто читать приятно — язык, которым тогда писали научные статьи, очень хорош. Позже стиль популярной науки, к сожалению, приблизился к стилю научных статей, и из него ушла красота. Даже такой великий человек, как Перельман, который добился потрясающей вещи — положил научно-популярную книжку по физике и математике на стол буквально в каждой семье, и то писал более сухим языком.
— Почему наша научно-популярная литература стала дрейфовать в сторону наукообразия?
— Не только наша. Каждое время требует своего способа изложения. Сейчас другие времена; информации действительно стало больше. Говорить пытаются сжато, чтобы успеть больше донести до читателя. Это отчасти объективная необходимость, но старые книги всё равно читать приятно и необходимо.
— Мне казалось, что на Западе научно-популярные материалы грешат упрощением. Там считается, что каждый должен уважать науку, независимо от того, сколько способен в ней понять. Может быть, так и надо: уж популярно, так популярно?
— Нам на заграничный опыт бездумно опираться не нужно, потому что у нас очень разные традиции популяризации науки. В России принято так: если ты человека чем-то зацепил, то дальше его надо чему-то научить. А за границей часто тебе просто говорят: «Посмотри, как красиво!», — показывают некий фокус и сообщают, что за ним стоит математика. Кроме того, на Западе слишком боятся быть непонятными, поэтому многое просто не решаются объяснять. А можно попытаться и объяснить, и сделать это понятно. Помните мультфильм про Простоквашино? Его можно смотреть в любом возрасте. Некоторые фразы в детстве не замечаешь, а понимаешь уже потом. Мы пытаемся совместить развлечение и понимание.
«Глубокоуважаемый шкаф»
Первое, на что обращаешь внимание в химических лабораториях — резкий запах, в физических — установки, похожие на космические корабли. В лаборатории Андреева бросается в глаза старинное дерево: непонятные деревянные механизмы со множеством движущихся частей и ещё более интригующий, чем они, огромный резной шкаф с гербом. Шкаф знаменует собой связь времён, поскольку принадлежал Пафнутию Леонтьевичу Чебышеву, крупнейшему русскому математику XIX века. Механизмы тоже имеют к нему непосредственное отношение.
— Ещё один наш проект — реконструированные с помощью трёхмерной анимации механизмы Чебышева — позволяет наглядно показать, зачем решаются математические задачи, — объясняет Андреев. — Чебышев увлекался созданием работающих механизмов и по мере их конструирования глубоко разработал несколько областей математики. В частности, создал теорию приближений, которая до сих пор используется и развивается. Наиболее известна стопоходящая машина Чебышева — первая в мире шагающая машина, её показали на Всемирной выставке в Париже в 1878 году. Знакомые любому математику и инженеру «многочлены Чебышева» появились именно в связи с этой моделью. Мы средствами трёхмерной анимации реконструировали его механизмы: частично по тем, что сохранились в музеях, частично по архивным материалам, описаниям и фотографиям.
— Поразительные устройства: с одной стороны, это инженерия и прикладная механика...
— ...с другой — за каждой стоит важная фундаментальная наука. Кроме того, надо отдавать себе отчёт, что это историческое достояние России, которое легко утратить: время идёт, состояние сохранившихся механизмов ухудшается. Одна из целей проекта была по сохранившимся данным так воссоздать их устройство, размеры, облик, чтобы механическое наследие Чебышева можно было реконструировать с точностью до миллиметра.
— Как вы вышли на эту тему?
— Мы практически случайно сделали фильм про стопоходящую машину Чебышева, и он оказался очень популярен. За первый день, когда мы выложили его на сайт, его посмотрело больше 100 тысяч человек — большая аудитория даже для интернета, а для бумажных изданий вовсе недостижимая. Мы стали искать, чем ещё располагаем подобным, и поняли, что всё это нужно спешно описывать и сохранять. Сейчас этот проект почти закончен, из российских механизмов в нём представлены все. Но есть несколько документов и механизмов, которые хранятся в Париже, — реконструкции по ним нам ещё предстоит сделать.
— Можно ли в двух словах объяснить, какое место занимает Чебышев в истории математики?
— Прежде всего он доказал основополагающие теоремы во всех областях математики, которые были в его время. Он разработал теорию приближений, не утратившую значения до сих пор: её развивают и используют. Но не менее важно, что именно с Чебышева в России началась математическая школа.
— Это существенно для становления молодого математика — принадлежать к школе?
— На мой взгляд, очень. Когда есть научная школа, есть баланс между разными направлениями, среди них легче найти своё место. Выбирая руководителя, можно пойти к молодому и сильному учёному, а можно пойти к сильному учёному, у которого много учеников. На мой вкус, второе лучше. Мне повезло, я был в такой школе, возглавлял её Сергей Борисович Стечкин, известный математик второй половины ХХ века.
— У вас много учеников?
— Научных — никого.
— А как же с преемственностью?
— Не все должны заниматься передачей научных знаний. У кого-то это получается лучше. У меня лучше пока получается популяризировать математику. Свои знания и подходы я стараюсь передать молодёжи, работающей в наших проектах. А кроме того, донести их на лекциях, коих у нас по материалам проектов читается более 60 в год по всей России.
— Анимированная математика — это очень красивый и притягательный формат. Почему не все тут же бросились им заниматься?
— Такие ролики очень непросто делать. Каждый фильм — это несколько месяцев работы профессиональной команды математиков и специалистов по трёхмерной анимации. Это дорого, долго; понятно, что не все могут это себе позволить.
— Вам президент руку пожал именно за математические этюды. Это вас продвинуло куда-то?
— Внимание к нам президента было нужно не столько нам, сколько обществу: как сигнал, что такими вещами следует заниматься. Чтобы в других институтах возникали аналоги нашей лаборатории. Потому что хотя структурное, формальное подразделение такого рода есть только у нас, в составе Математического института им. В. А. Стеклова, но на самом деле в каждом академическом институте кто-нибудь да занимается школьными делами. Это можно сказать обо всём естественно-научном блоке, но математика даже в нём выделяется. Правда, в современных реалиях работать для школ довольно сложно: если создавать лабораторию, значит, понадобятся ставки.
— Нужно искать финансирование?
— Прежде всего, нужно решиться административно. Количество ставок в системе не изменится: чтобы где-то прибавить, нужно где-то убавить. И тем не менее такие структуры должны быть. В математической среде присматривать за тем, что происходит в школах, традиционно считается делом не менее важным, чем доказательство теорем.
