ЗЕРКАЛА И СВЕЧИ

Народные обычаи часто вдохновляли поэтов-романтиков. Писал о них Василий Жуковский, у Афанасия Фета есть небольшой цикл стихотворений "Гадания". На святках (дни от Рождества 7 января до Крещения 19 января) девушки гадали о своей судьбе. Среди прочих Фет упомянул и такой способ:

Зеркало в зеркало
с трепетным лепетом
Я при свечах навела;
В два ряда свет -
и таинственным трепетом
Чудно горят зеркала...

Героиню стихотворения интересовало в основном, выйдет ли она замуж, когда и за кого, а мы займемся другим вопросом, связанным с этим старинным способом гадания. Сколько огоньков в принципе можно увидеть в ряду отражений свечи, поставленной между двумя зеркалами?

Зеркал, которые отражали бы падающий свет полностью, не существует. Предположим, героиня стихотворения взяла два очень хороших зеркала с 99-процентным отражением. Тогда примерно через 70 отражений свет ослабнет вдвое, после 140 - еще вдвое, и так до полного ослабления, когда огонек уже не будет виден. Кроме того, большинство зеркал отражает некоторые цвета лучше, чем другие, и отражения станут не только затухать, но еще и менять цвет.

Но число отражений будет бесконечным, если только идеальные зеркала стоят строго параллель но, а достичь этого не удастся. Поэтому ряд отражений изогнется, изображение как бы уйдет "за угол".

И надо еще учесть, что фетовская девица не стоит между зеркалами, а вглядывается в свой оптический прибор сбоку, так что ряд свечей довольно быстро окажется за рамкой зеркала.

Но даже если взять большие зеркала в человеческий рост и встать со свечой между ними, ограничение наложит конечная скорость света. Она составляет около 300 тысяч километров в секунду, и путешествие света туда и обратно займет некоторое время. Расчет показывает, что при идеальных зеркалах, поставленных строго параллельно на расстоянии 2 метра одно от другого, и продолжительности опыта в 1 минуту можно увидеть 9 миллиардов огоньков. Но это если предположить, что наблюдатель совершенно прозрачен и не загораживает собой ряд отражений.

Если же зеркала имеют диаметр 1 метр и не совсем параллельны, а отклонение составляет, предположим, полградуса, число отражений сократится до 57. А в маленьких ручных зеркалах, далеко не идеальных и не параллельных, да еще если глядеть сбоку - и того меньше.

Но и этого достаточно, чтобы при мистическом настрое, напряженно вглядываясь в ряд колеблющихся огоньков, увидеть в зеркале всякую чертовщину:

Ну как уставят гробами дубовыми
Весь этот ряд между свеч!
Ну как лохматый с глазами
свинцовыми
Выглянет вдруг из-за плеч!

В заключение героиня Фета восклицает "Чур меня!" и, по-видимому, прекращает эти никогда не одобрявшиеся церковью занятия.

Для начала рассмотрим простую задачу. Наша свеча стоит на расстоянии l от стены. в точке a поверхности, лежащей напротив свечи, которая дает силу света I, освещенность E = I / l². Заменим теперь стену зеркалом, а с другой стороны свечи, на таком же расстоянии l, поместим второе зеркало, строго параллельное первому. Зеркала будем считать идеально отражающими во всем диапазоне видимого спектра. Возникает бесконечный коридор, или туннель с бесчисленным количеством отражений свечей - мнимых источников, которые тем не менее посылают вполне реальный свет в точку a. И на первый взгляд кажется, что возникает парадокс: бесчисленное множество источников света вроде бы должны дать бесконечно большую освещенность. Но свеча-то, действительный источник света, - одна! Откуда же взялась бесконечно большая энергия?

Чтобы разрешить это противоречие, рассмотрим цепочку отражений, лежащих по одну сторону от свечи - на рисунке справа. Свеча отразится в обоих зеркалах, и оба отражения будут лежать на расстоянии l от их поверхностей. Отражение в левом зеркале отразится в правом, появившись на расстоянии 3l от него. А оно, в свою очередь, даст отражение в левом зеркале на расстоянии 5l от его поверхности, и так далее - последовательность цепочки отражений видна на рисунке.

Поэтому освещенность в точке a, лежащей теперь на поверхности зеркала, будет

#2#

Мы получили бесконечный ряд, первый член которого соответствует условию начальной задачи - он равен освещенности точки, создаваемой одной свечой. Возникает вопрос: конечна сумма членов этого ряда или бесконечна, то есть, говоря языком математики, - сходится этот ряд или расходится?

Совершенно ясно, что ряд в виде последовательности натуральных чисел расходится: сумма его членов, которые неограниченно увеличиваются, стремится к бесконечности: #4#.

Гораздо менее очевидно, что так называемый гармонический ряд, образованный обратными величинами, расходится тоже, несмотря на то, что члены ряда неограниченно убывают:

#5#

А ряд вида #6#

сходится, и его сумма #7#

Легко заметить, что из него путем вычитания четных членов получен ряд, определяющий величину освещенности. Следовательно, он сходится тоже, давая несколько меньшую сумму:

S=π²/8≈1,23

Таким образом, бесконечное количество отражений в зеркалах - мнимых источниках света - увеличит освещенность поверхности не до бесконечности, а только на 23 процента!