Два года назад в журнале была опубликована статья доктора физико-математических наук Р. Бахтизина и студента К. Штукатурова "Арифметические аттракторы" (см. "Наука и жизнь" № 9, 2000 г.). Напомним, о чем в ней шла речь.
Бралось произвольное двузначное число, например 97. Инверсным к нему называлось 79. Их разность (97-79)=18, инверсное к которому 81. Сумма разности и инверсного к ней числа (18+81)=99. Это число будет одинаковым для любых исходных двузначных чисел, кроме симметричных (например, 77), для которого результат будет равен 0. Эти "притягивающие" числа авторы назвали аттракторами и заметили, что при увеличении разрядов исходных чисел количество их аттракторов растет, представляя собой последователь ность членов ряда Фибоначчи, стоящих на его четных номерах. Авторы, указав на эту закономерность, полагали, что кто-то из читателей сможет математически доказать справедливость гипотезы. Такое доказательство мне, похоже, удалось отыскать.
Будем обозначать однозначное число как а, двузначное как ab, трех-, четырехзначные как acb и cabd и т.д. (каждая буква символизирует цифру). #1#
Рассмотрим однозначное число a. Инверсное для него тоже a, поэтому их разность равна 0, инверсное к которому 0, и сумма разности и инверсного к нему тоже 0. Это выполняется для всех десяти однозначных чисел. Получается один аттрактор, равный нулю. На рис. 1 представлено это одиночное число а. В кружке на рисунках указано число аттракторов.
Рассмотрим двузначное число ab. В этом случае интерес представляют две ситуации: a>b и a=b, так как случай a<b симметричен условию a>b, поскольку разность ab-ba берется по модулю; поэтому достаточно рассмотреть, например, числа 91, 50, которые превратятся в инверсные 19, 05. Случай равенства a и b (например, 77) приводит нас к одному аттрактору - 0. Случай a>b дает второй аттрактор, одинаковый для всех комбинаций. Получим его формулу. #2#
Разность (ab-ba) разлагается по степеням числа десять: (ab-ba)=10[a-1-b]+1[10+b-a]=10[(a-b)-1]+1[10-(a-b)]. Инверсным к нему будет 10[10-(a-b)]+1[(a-b)-1]. Сумма разности и инверсного ей числа равна 99 и не зависит от a и b. Мы получили два аттрактора для всех двузначных чисел: 0 и 99. На рис. 2 два варианта представлены в виде "весов", у которых возможно два положения: равенство обеих чаш a=b и одно неравенство a>b. #3#
Рассмотрим трехзначное число acb. Увеличение порядка числа не приведет к изменению количества аттракторов, но значение одного изменится (аттрактор, равный 0, останется и будет "притягивать" к себе все симметричные числа: 313 и т.д.). На рис.3 это показано также в виде "весов", которые могут находиться в тех же двух положениях, что и в случае двузначных чисел: a>b и a=b. Получается, что добавленная цифра c, находясь посередине чаш a и b, не приводит к изменению возможных положений этих чаш. Разность (acb-bca) в случае a>b разлагается по степеням числа 10: (acb-bca)=100[a-1-b]+10[9]+1[10+b-a]=100[(a-b)-1]+10[9]+1[10-(a-b)]. Инверсное к нему запишется как 100[10-(a-b)]+10[9]+1[(a-b)-1]. Видно, что оба они не зависят от с. Сумма разности и инверсного ей числа равна 1089 и не зависит от a и b. Для трехзначного числа получается два аттрактора. #4#
Рассмотрим четырехзначное число cabd с помощью "весов" (рис. 4). Теперь добавление еще одной чаши увеличивает число возможных положений всех чаш. Здесь, как и в случае двузначных чисел, достаточно рассмотреть варианты c=d и c>d, так как разность cabd-dbac берется по модулю и, например, число 2137 дает инверсное 7312, которое и имеет смысл рассматривать. В случае равенства боковых чаш c=d число ат-тракторов то же, что и для двузначного числа ab: a>b и a=b - два аттрактора. Можно сказать, что добавление к двузначным "весам" двух равных боковых чаш не меняет числа вариантов их взаимного расположения (однако значения аттракторов изменяются). Но если одна боковая чаша "тяжелее" другой (c>d), между этими чашами "весы" предыдущего (второго) порядка получают дополнительную свободу: чаши a и b, как и прежде, могут находиться в положениях a>b и a=b, но теперь необходимо учесть случай a<b. Получается, что неравенство боковых чаш привело к увеличению числа возможных положений чаш внутренних "весов". Возьмем c=7 и d=2. Тогда между этими "чашами" возможны следующие ситуации: 7332 (a=b), 7312 (a>b), 7132 (a<b). Последние два случая дадут разные аттракторы, так как не являются инверсными друг к другу (это верно для любых a№b), и, следовательно, нужно рассматривать эти оба положения "весов". Дополнительные три варианта расположения представляют собой сумму числа предыдущих аттракторов для ab (2) и количества аттракторов для числа a (1). В итоге мы имеем пять аттракторов: 0, 990, 9999, 10890, 10989. Каждый аттрактор - для определенного соотношения цифр числа. В ряду Фибоначчи 5 равно 3+2, где, в свою очередь, 3=2+1.
Добавление еще одной чаши е не изменит числа аттракторов (хотя изменит их значения), как и в случае перехода от двузначных к трехзначным числам. Используя аналогию с "весами" для caebd (рис. 4), видим, что добавление средней чаши не приводит к появлению дополнительного числа возможных вариантов положений остальных чаш. Четырехзначные "весы" словно продолжают колебаться, принимая те же положения, что и прежде, но только теперь - около центрального, пятого, числа. Возникает пять аттракторов. #5#
Возьмем шестизначное число ecabdf. Появление четной чаши на рис. 5 приводит к значительному увеличению числа вариантов взаимного положения чаш. Равенство боковых чисел-чаш e=d дает пять "старых" положений, присутствовавших в четырехзначных "весах". Восемь же "новых" положений - комбинации все тех же прежних вариантов. Пять "старых" положений чаш снова возможны при e>d. Но при этом чаши c, d получают дополнительную свободу, так как новая ситуация с<d в этом случае характеризует определенную группу шестизначных чисел со своим особым аттрактором. При с<d число аттракторов равно трем - числу "новых" аттракторов, появившихся в четырехзначных "весах" по сравнению с двузначными. Как и для cabd, можно показать зависимость значений аттракторов в каждом случае только от взаимного положения чаш, то есть только от взаимного значения стоящих на симметричных относительно центра позициях цифр числа. Получается тринадцать аттракторов.
Рисунки наглядно иллюстрируют замеченную авторами статьи "Арифметические аттракторы" закономерность. При переходе от одного числа с четным количеством цифр к другому количество аттракторов равно сумме трех составляющих. Первая составляющая: число аттракторов в предшествующем случае (при равенстве двух боковых наружных чаш в этом числе). Вторая: то же число аттракторов (но уже для случая строгого перевеса в новом числе левой чаши над правой). Третья: количество аттракторов, появившихся в числе, предшествующем этому, когда боковые чаши того числа были неравны.
Спасибо авторам за замечательные и притягательные аттракторы, такие одинаковые и разные.
