«И в вычислениях на логарифмической линейке можно найти известную поэзию»
Карл Фридрих ГАУСС (1777 - 1855)
«Словно пена,
Опадают наши рифмы,
И величие степенно
Отступает в логарифмы»
Б. СЛУЦКИЙ (р. 1920)
ИЗОБРЕТЕНИЕ ШОТЛАНДСКОГО БАРОНА
Чиновник Британского Адмиралтейства Сэмюэль Пепис 4 июля 1662 года записал в свой дневник «К пяти часам утра, приведя в порядок свой журнал, я отправляюсь в контору. Вскоре туда приходит м-р Купер, с помощью которого я надеюсь изучить математику. (я пытаюсь прежде всего выучить таблицу умножения).»
Пепис имел кембриджский диплом и, следовательно, был хорошо образованным для своего времени человеком. Впоследствии он стал президентом Королевского общества и другом Исаака Ньютона. Однако даже ему с трудом удавались простые расчеты по таблице умножения, необходимые при закупках пеньки или древесины для Адмиралтейства. Что же говорить о необразованных землемерах, моряках, каменщиках, плотниках, профессиональное искусство которых все в большей степени начинало зависеть от умения быстро и правильно вычислять.
Понятно, какое значение имело изобретение логарифмов! Простое правило «логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей» позволило перемножать числа по правилам сложения. Деление чисел заменялось вычитанием их логарифмов.
И. Кеплер писал тюбингенскому профессору математики В. Шикарду «Некий шотландский барон, имени которого я не запомнил, выступил с блестящим достижением он каждую задачу на умножение и деление превращает в чистое сложение и вычитание.»
«Шотландским бароном» был Джон Непер, опубликовавший в 1614 году свой знаменитый трактат «Mirifici logarithmorum canonis descripta» (Описание удивительных таблиц логарифмов). Кроме описаний действий с логарифмами, здесь были при ведены семи и восьмизначные таблицы логарифмов тригонометрических функций углов первой четверти.
ШКАЛА ГЮНТЕРА
Попытки механизации логарифмических вычислений предпринимаются сразу же вслед за изобретением логарифмов.
Около 1620 года профессор астрономии Грэшемского колледжа Эдмунд Гюнтер (кстати сказать, автор общепринятого ныне обозначения log а) предложил использовать для этой' цели логарифмическую шкалу - прямолинейный отрезок, на котором отложены логарифмы чисел или тригонометрических величин. Несколько таких шкал наносились на деревянную или медную пластинку параллельно. Два циркуля-измерителя использовались для сложения или вычитания отрезков вдоль линий шкалы, что в соответствии со свойствами логарифмов позволяло находить произведение или частное.
Усовершенствованию и популяризации «шкалы Гюнтера» способствовал Эдмунд Уингейт - математик, политический деятель и плодовитый писатель.
Рядом с основной логарифмической шкалой чисел Уингейт поместил в «шкале Гюнтера» еще две шкалы, построенные в половинном масштабе на одной прямой и три шкалы в масштабе /з - на другой. Перенося измерителем отрезки с обычной шкалы на двойную или на тройную и наоборот, можно было возводить числа в квадрат или в куб, извлекать квадратные или кубические корни.
В России первое описание шкалы Гюнтера было приведено в 1739 году в книге, изданной Петербургской Морской академией, под названием «Книжица о сочинении и описании сектора, скал плоской и гунтеровской со употреблением оных инструментов в решении разных математических проблем»
КРУГИ ПРОПОРЦИЙ
«У поэтов есть такой обычай в круг сойдясь, оплевывать друг друга». Печальный этот обычай наблюдается иногда не только среди завистливых поэтов, о которых писал Дмитрий Кедрин, но, и среди некоторых ученых и инженеров. Изобретатели первых логарифмических линеек Уильям Отред и Ричард Деламейн не составляют в данном случае исключения.
В большинстве приоритетных споров время обычно расставляет все по своим местам, но здесь и оно оказалось бессильным. Мы даже не знаем точной даты изобретения логарифмической линейки. Можно лишь с уверенностью утверждать, что это произошло между 1620, и 1630 годами.
«Простой сельский священник, имя которого встречается в различных областях математики» - так представляет Уильяма Отреда, замечательного английского математика и педагога, известный историк математики Г. Вилейтнер.
«Его дом был полон юных джентльменов, которые приезжали отовсюду, чтобы поучиться у него», - писал современник Отреда. Плату за обучение Отред не брал, хотя не был богатым. «Жена постоянно корила его за бедность и всегда забирала подсвечник после ужина, из-за чего многие важные проблемы остались неразрешенными. Один из учеников, который тайком передал учителю ящик свечей, заслужил его горячую благодарность»
В летние каникулы 1630 года в доме Отреда гостил его ученик и друг, лондонский учитель математики Уильям Форстер. Коллеги беседовали о математике и, как мы сказали бы сегодня, о методике ее преподавания. В одной из бесед Отред невысоко оценил «шкалу Гюнтера», указав, что манипулирование с двумя циркулями требует много времени и дает низкую точность. Видя недоумение Форстера, очень ценившего это изобретение, Отред показал своему ученику два изготовленных им вычислительных инструмента.
Первый состоял из двух логарифмических шкал, одна из которых могла смещаться относительно другой, неподвижной. Второй инструмент состоял из кольца, внутри которого вращался на оси круг. На круге [(снаружи), и кольце (внутри) были нанесены свернутые в окружность логарифмические шкалы. Оба инструмента позволяли (Производить вычисления без циркулей. Это были первые логарифмические линейки!
Форстер удивленно спросил, как мог Учитель скрывать от мира столь замечательные изобретения. Ответ Отреда свидетельствует о замечательных педагогических принципах «маленького викария из Олбьюри»
«Истинный путь к овладению Искусством проходит не через Инструменты, но через Доказательства. И это нелепая манера невежественных учителей начинать с Инструментов, а не с Науки. Поэтому вместо Мастерства их ученики обучаются только трюкам, подобно фокусникам. И, несмотря на обучение, это приводит к потере драгоценного времени и превращению умов, жаждущих и трудолюбивых, в невежественные и ленивые. Использование Инструментов действительно превосходно, если человек владеет истинным Мастерством, но презренно, если это владение противопоставляется Искусству»
По просьбе Форстера Отред передал ему описание линеек и разрешил перевести их с латыни на английский и издать. Книга Форстера и Отреда «Круги пропорций» вышла в Лондоне в 1632 году. В ней описана круговая логарифмическая линейка; о прямоугольной рассказано в следующей книге Форстера, «Дополнение к использованию инструмента, называемого Кругами Пропорций» (1633 г.). Эта линейка состояла из двух логарифмических шкал. При употреблении они зажимались в левой руке вычислителя и одна из них правой рукой смещалась относительно другой, неподвижной.
Права на изготовление своих линеек Отред передал известному лондонскому механику Элиасу Аллену. Осенью 1630 года, идя из мастерской Аллена, Отред встретил учителя математики Ричарда Деламейна, некогда бывшего его ассистентом. Отред рассказал Деламейну об инструментах, изготовление которых он поручил Аллену. Услыхав о круговой логарифмической линейке, Деламейн воскликнул «Подобное изобретение сделал, и я!»
Деламейн оказался более предприимчивым человеком и успел в том же 1630 году выпустить брошюру «Граммелогия или математическое кольцо», в которой описал круговую логарифмическую линейку и правила ее использования.
Деламейн не только описал конструкцию линеек, но, и привел их градуировки, способы проверки точности и дал много примеров их использования.
Кажется, Отред остался вполне равнодушным, узнав о выходе «Граммелогии». Во всяком случае, Деламейн, готовя к печати в 1631 году свою следующую книгу, «Горизонтальный квадрант», регулярно посылал Отреду для просмотра типографские оттиски. Но многочисленные ученики Отреда негодовали.
Атаку начал Форстер. В «Посвящении», предшествующем основному тексту «Кругов», он, не называя имен, говорит о «другом, которому автор (Отред), любовно доверяя, открыл свою цель». Этот «другой» «с поспешностью, превосходящей скорость устремления к добрым делам», попытался «поскорее захватить место»
Затем последовал обмен письмами, содержащими взаимные упреки и обвинения, между Деламейном, и «отредовцами». Наконец, в 1633 году в четвертом издании «Граммелогии». Деламейн решается печатно обвинить Отреда в воровстве. Без всяких доказательств он утверждает, что Отред не изобрел круговой линейки, а все сведения о ней почерпнул из его, Дела-мейна, книги.
Это голословное обвинение, по словам одного из друзей Отреда, «разбудило дремлющего льва». В том же 1633 году Отред публикует памфлет «Апологетическое послание», посвященный защите своих авторских прав. Подробно описывая историю своего изобретения, Отред замечает, что оно было сделано около 12 лет назад.
Если принять на веру утверждение Отреда о времени его изобретения, то в 1971 или 1972 году мы могли бы отметить 350-летие замечательного изобретения.
Что же касается споров о приоритете, то здесь скорее всего следует согласиться с известным историком математики Ф. Кэджори, который считает, что изобретение логарифмической линейки было сделано независимо друг от друга Уильямом Отредом и Ричардом Деламейном.
ГЛУБИНА СОЛОДА
В 1654 году англичанин Роберт Биссакер предложил конструкцию прямоугольной логарифмической линейки, сохранившуюся в принципе до нашего времени. Его линейка состояла из трех самшитовых планок длиной около 60 сантиметров; две внешние удерживались вместе медной оправкой, а третья (движок) свободно скользила между ними. Каждой шкале на неподвижных планках соответствовала такая же на движке. Шкалы имелись на обеих сторонах линейки.
Аналогичную конструкцию предложил в 1657 году независимо от Биссакера лондонский учитель математики Сет Патридж.
Важные усовершенствования в конструкцию прямоугольной логарифмической линейки внес в 1683 году Томас Эверард, механик и налоговый чиновник.
Эверард реализовал идею Уингейта поместил на линейке двойные и тройные шкалы для возведения чисел в квадрат и в куб, извлечения квадратного и кубического корней. Он же впервые нанес на шкалы линейки «особые точки», отмечающие числа, часто встречающиеся в вычислениях Si (0,707) - сторона квадрата, вписанного в круг диаметра 1; Se (0,886) - сторона квадрата, равновеликого такому кругу, С (3,14) - длина окружности того же круга; W (231) - объем стандартного галлона вина в кубических дюймах, МД (2150,42) - объем стандартного бушеля солода и, наконец, А (282) - объем стандартного галлона эля. Наконец Эверард впервые применил обратную шкалу, которая позволяла находить глубину различных бочонков стандартного объема. (В соответствии с назначением линейки речь шла обычно о глубине бочонка, вмещающего бушель солода. Отсюда и наименование шкалы MD - Malt depth - глубина солода.)
Эверард поместил обратную шкалу на неподвижной части линейки. В 1797 году известный английский химик У. X. Волластон предложил сделать обратной одну из двух шкал движка. А еще через сто лет французский математик А. Бегин поместил ее на движке между двумя шкалами. Здесь она пребывает и поныне.
Линейка Эверарда предназначалась главным образом для определения объема различных сосудов. Универсальная логарифмическая линейка, предназначенная для выполнения разнообразных инженерных расчетов, была сконструирована в 1789 году выдающимся английским механиком Дж. Уаттом. Она получила название «Сохо-линейки», по имени местечка близ Бирмингема, где работал Уатт.
Сведения об этой линейке проникли и в Россию. Описание «Сохо-линейки» на русском языке составил «корпуса горных инженеров майор Дмитриев», выпустивший в 1837 году «Наставление к употреблению числительной линейки Коллардо». Это первая публикация на русском языке, относящаяся к логарифмическим линейкам.
БЕГУНОК НЬЮТОНА
Не многим известно, что идея бегунка - неотъемлемого элемента современной линейки - была высказана великим Ньютоном.
24 июня 1675 года секретарь Лондонского Королевского общества Генри Ольденбург писал Лейбницу «Мистер Ньютон находит корни уравнений с помощью логарифмических шкал, расположенных параллельно на равных расстояниях друг от друга. Для решения кубического уравнения достаточно трех различных шкал, для уравнения четвертой степени - четырех»
Однако, как элемент логарифмической линейки бегунок появился лишь спустя сто лет, когда Джон Робертсон, преподаватель Королевской математической школы в Портсмуте, а затем библиотекарь Лондонского Королевского общества, предложил собственную линейку, предназначенную для навигационных расчетов. На одной ее стороне помещались равномерные, а на другой - логарифмические шкалы. Вдоль этой стороны двигался «индекс» тонкая медная пластинка, с помощью которой можно было считывать соответствующие друг другу числа на различных шкалах линейки.
ЛИНЕЙКА МАННХЕЙМА
В 1850 году Амедей Маннхейм, 19-летний французский офицер, служивший в крепости Метц, предложил прямоугольную логарифмическую линейку, которая стала наиболее популярной среди инструментов подобного рода.
Свой инструмент Маннхейм описал в брошюре «Модифицированная вычислительная линейка», изданной в 1851 году. В течение последующих 20 - 30 лет его линейки выпускались во Франции, а затем завоевали более широкое признание и стали изготовляться фирмами Англии, Германии, США.
Расположение шкал на линейке Маннхейма близко к современному. Кроме того, ему удалось популяризировать применение бегунка. Он показал, что бегунок можно использовать не только для считывания соответствующих чисел на далеко расположенных шкалах, но также и для сложных вычислений без записи промежуточных результатов.
Линейка Маннхейма завоевала популярность во всем мире, как портативный и удобный инструмент для ежедневных расчетов, обеспечивающий вычисления с точностью трех десятичных знаков.
Интересная модификация этой линейки была предложена в 1882 году профессором Высшего Технического Училища (Москва) Михаилом Николаевичем Черепашинским. Он предложил располагать отметку «1» на логарифмических шкалах не слева, как обычно, а в центре шкалы благодаря этому движок выдвигается влево или вправо не более чем на половину своей длины.
ПОДСПОРЬЕ ДЛЯ ЛЮБЫХ РАСЧЕТОВ
За трехсот пятидесятилетнюю историю были созданы сотни различных конструкций логарифмических линеек. В наше время без логарифмической линейки не обходится ни один практический инженерный расчет. Десятки фирм во всех странах мира выпускают множество разнообразных линеек, как универсальных, так и специализированных, предназначенных для расчетов в определенных областях и содержащих специальные функциональные шкалы.
Пожалуй, наиболее распространенной является универсальная линейка, представленная на последнем рисунке. На лицевой стороне корпуса здесь расположены четыре шкалы - равномерная, обычная логарифмическая, двойная и тройная. Две шкалы движка повторяют обычную и двойную логарифмические шкалы корпуса. Между ними расположена обратная шкала. На оборотной стороне движка находятся шкалы натуральных значений синусов и тангенсов, а между ними - шкала синусов и тангенсов малых углов.
Одной из наиболее совершенных современных логарифмических линеек является многошкальная линейка, разработанная сотрудниками Института прикладной математики при Дармштадтской высшей технической школе (1934 - 1935 гг.). Различные шкалы этой линейки соответствуют функциям х, х2, х3, */х, log х, ]/1 - (0,1.x)2, sin х, cos х, tgx, ctg x,cx, e°’Ix, e°’01x.
Эта линейка выпускается и поныне фирмами и организациями ФРГ, ГДР, Австрии и Чехословакии.
ЛИТЕРАТУРА
Румшиский Л. 3. Счетная линейка. М„ 1970.
Пентковский М. В. Считающие чертежи. М 1959.
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М. 1960.
Скользящие друг по другу прямоугольные планки - вовсе не единственная форма, которую имела за свою историю логарифмическая линейка. Один из первых опытных ее образцов, созданный Уильямом Отредом около 1631 года, представлял собой кольцо, внутри которого вращался круг. Линейка Отреда более позднего образца была выполнена в виде медной пластинки (рисунок вверху), на которой по концентрическим окружностям было выгравировано восемь шкал. Одна из них была равномерной шкалой чисел от 1 до 10, семь остальных - логарифмическими логарифмы чисел от 2 до 10, две шкалы логарифмов синусов (от 35' до 6е и от 5°45' до 90°), и четыре шкалы логарифмов тангенсов. В центре линейки на оси были укреплены два плоских радиальных указателя. Вот, как можно было с их помощью произвести, например, умножение двух чисел. Вначале первый указатель ставился на деление «1», а второй - на первый сомножитель. Затем, не меняя взаимного расположения указателей, их поворачивали так, чтобы первый оказался на делении, соответствующем второму сомножителю. В этом случае второй указатель показывал искомое произведение.
Примерно в те же годы, что и линейки Отреда, была предложена плоская спиральная логарифмическая линейка. Обладая более длинной шкалой, она позволяла повысить точность вычислений. Отред в своем «Апологетическом послании» называет автором спиральной линейки Томаса Брауна, не сообщая о нем никаких сведений. Линейка Брауна и ее автор были вскоре забыты. Плоскую спиральную линейку вновь изобрел и изготовил придворный механик Георга III Джордж Адамс в 1748 году. Она была выгравирована на медной пластинке диаметром 12 дюймов (305 мм), и имела 10 витков. Столько же их было и на линейке английского ученого и издателя Уильяма Никольсона (рисунок в середине), описанной автором в «Журнале естественной философии, химии и ремесел» за 1797 год.
Длину логарифмической шкалы можно увеличить, если расположить спираль не в плоскости, а на боковой поверхности цилиндра. Эта идея, принадлежащая «йоркширскому джентльмену мистеру Мильбурну», и высказанная им около 1650 года, была затем развита в «Вычислителе Фуллера». Своеобразный прибор, известный под таким названием, сконструировал в 1878 году профессор Джордж Фуллер из Белфаста (рисунок внизу).
На цилиндре, имеющем 80 миллиметров в диаметре и 160 - в длину, «навито» 50 витков. Эффективная длина логарифмической шкалы составляет при этом 12,5 метра. Здесь указатели прикреплены и торцам цилиндров, вложенных друг в друга и способных вращаться друг относительно друга; спиральная логарифмическая шкала нанесена на поверхности объемлющего их цилиндра, который может перемещаться взад-вперед и вращаться.
«Вычислители Фуллера» выпускались в Англии до самого недавнего времени.
