Любителям математики хорошо известны книги «Математический калейдоскоп», «Сто задач». Их автор - польский математик Гуго Штейнгауз. Окончив в 1911 году Геттингенский университет, он занимался впоследствии теорией тригонометрических рядов, функциональным анализом, теорией вероятностей. Он был - наряду со Стефаном Банахом - основателем львовской математической школы, представители которой работали главным образом в области функционального анализа, важного раздела современной математики.
Научные заслуги Гуго Штейнгауза |1887 - 1973) нашли признание в кругу специалистов. Но наиболее широкую известность ему принесли его популярные книги по математике. Они поражают изобретательностью, изяществом, разнообразием тем.
В этом году в издательстве «Мир» выходит в свет книга Г. Штейнгауза «Задачи и размышления». Выдержки из книги составили статью, предлагаемую вниманию читателей.
Гуго ШТЕЙНГАУЗ.
МАТЕМАТИКИ И ПСЕВДОМАТЕМАТИКИ
О математике и математиках часто можно услышать самые нелепые, самые удивительные мнения. На то есть свои причины. Дело в том, что математиков в собственном смысле слова очень мало. За математиков обычно принимают различных псевдоматематиков всех, кому приходится много вычислять, маньяков, погрязших в бесплодных и бессмысленных выкладках, обладателей дипломов об окончании математического факультета университета и математиков-любителей.
В этой Связи уместно вспомнить, что математики редко любят и умеют производить численные выкладки, основанные на механическом - более или менее искусном - использовании давно известных правил элементарной арифметики.
Можно привести не один аргумент против определения математики, как науки о числах или величинах. К числу разделов математики, не являющихся науками о числах или величинах, принадлежит, например, топология, или наука об общих свойствах формы тел. Топология не делает различия между шаром и эллипсоидом, считая их одной и той же фигурой, поскольку сферу, не прокалывая ее поверхность, непрерывной деформацией можно перевести в эллипсоид. Зато поверхность тора (бублика) нельзя непрерывной деформацией (без разрывов и склеиваний) преобразовать в поверхность сферы сфера и тор с точки зрения топологии различные фигуры.
У топологии имеются свои интересные задачи и среди них - проблема четырех красок. Вот она доказать, что каждую карту на сфере можно раскрасить, взяв не более четырех красок. Понимать это следует так. Какими бы ни были очертания «стран» на карте, их всегда можно раскрасить так, чтобы никакие две сопредельные страны, граничащие вдоль некоторого отрезка кривой, не оказались выкрашенными в один и тот же цвет, причем для такой раскраски достаточно четырех красок. Проблема четырех красок до сих пор не решена. (Для правильной раскраски карт на торе требуется семь красок. В отличие от сферы проблема семи красок для тора решена.) Топология успешно обходится без арифметизации и служит сильным доводом против отождествления математики с арифметикой и вычислениями.
Математик - довольно редкий тип человека. Он не только обладает математическими способностями, но, и получил специальное образование, позволяющее ему пользоваться в своей работе математическим методом, то есть самостоятельно находить способы решения математических задач, не поддававшихся ранее усилиям других людей. Научиться этому невозможно, ибо от математика требуется не только усидчивость, но, и особый склад мышления, умение додумывать не сформулированные в явном виде, но тем не менее важные подробности математических теорий. Истинных математиков немного, а те, кто их окружает, нередко даже не считают их математиками, поскольку их деятельность внешне ничем особо не проявляется. Зато «псевдоматематиков» можно встретить довольно часто. Одни из них хлопочут о получении наград, другие бьются над решением неразрешимых задач, третьи открывают вещи, давно и повсюду известные.
ХАРАКТЕР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА
Цель математики состоит в том, чтобы открывать абсолютно истинные теоремы. Для достижения своей цели математика использует так называемую дедукцию. Иначе говоря, из теорем, правильность которых уже установлена, математика выводит новые чисто логическим путем, то есть путем правильных рассуждений, не используя в качестве аргументов ни наблюдения, ни опыт, ни ощущения, не опираясь на помощь пространственных представлений, не ссылаясь на очевидность или авторитет.
Математический метод дедуктивный, синтетический и формальный. Поясним значение этих слов более подробно.
Мы называем математический метод дедуктивным потому, что единственным средством вывода, которое используется в математическом доказательстве, служит дедукция. После того, как аксиомы и определения сформулированы, математик путем чистого (то есть основанного только на законах логики) рассуждения доходит до самых сложных из известных теорем, а завтра, опираясь на теоремы, доказанные сегодня, идет еще дальше и доказывает новые, неизвестные ранее теоремы. Дедуктивный характер математических доказательств послужил некоторым «хулителям математики», например, Дж. С. Миллу, поводом для того, чтобы назвать математику мельницей, перемалывающей засыпанный в нее материал, но не дающей ничего нового. По мнению таких людей, математика обречена на вечное повторение банальной истины «а =а» в различных видах, не меняющих, однако, главного в, какой бы форме ни формулировал математик свои утверждения, по их мнению, он использует все тот же закон тождества, хотя и в «преображенном» виде. Если противники математики не правы, то потому, что развитие математики происходит не только на основе математических доказательств, но, и аксиом, и определений, а они в значительной мере произвольны.
Синтетический характер математического метода проявляется в выборе аксиом. Говоря об аксиомах, следует иметь ввиду не только математические аксиомы в собственном смысле слова, но, и логические аксиомы. Ясно, что выбор логических аксиом, пусть даже самых очевидных, например, таких, как «из А следует А», происходит не логическим путем, а требует обращения к иной инстанции, которую одни называют интуицией, а другие - «чутьем к истине»
Законы логики - принципы, которыми надлежит руководствоваться при умозаключениях, дальнейшему анализу не подлежат в отличие от математических аксиом, которые можно подвергать логическому анализу.
Однако не аксиомы составляют характерную черту математики. Своеобразие математики кроется в вводимых ею определениях.
Определение, по существу, сводится к тому, что вместо определенной комбинации старых символов используется один новый символ. Это позволяет сократить формулировки утверждений и теорем, которые в противном случае" были бы трудно обозримыми. Например, словесный символ «иррациональное число» служит стенограммой, сокращением длинного выражения «разбиение рациональных чисел на два класса, удовлетворяющее условиям Дедекинда» (причем «условия Дедекинда», в свою очередь, являются условным сокращенным обозначением четырех условий, перечень которых можно найти в любом руководстве по теории иррациональных чисел). Выбор определения предопределяет направление, в котором мы собираемся развивать математику, поскольку указывает, какую комбинацию символов мы считаем важной и заслуживающей особого сокращенного обозначения.
Формализм математического метода основан на том, что в математических рассуждениях понятия разрешается использовать лишь в том смысле, какой вложен в них определением. Приписывать, какой-нибудь другой, не содержащийся в определении смысл запрещается. Более того, из самого определения по возможности изгоняется все, что может привести к неясности или допустить неоднозначное толкование. Например, рассуждение «Прямая А пересекает прямую В. Следовательно прямая А делит прямую В на две полупрямых - левую и правую» нельзя считать математическим рассуждением. Это пример так называемого «анализа понятий», излюбленного метода некоторых философов. В математике пересечение есть определенное отношение между прямыми А, и В, о котором известно лишь то, что о нем сказано в аксиомах геометрии.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА И «ЭТИКА» СПИНОЗЫ
Изложенная нами точка зрения явилась плодом медленной, но непрекращающейся эволюции философии математики от размышлений Лейбница над основаниями теории натуральных чисел и исследований Лобачевского, Бойяи и Гаусса по неевклидовой геометрии до определения иррационального числа по Дедекинду и работ Гильберта, Пеано, Пуанкаре и Рассела по основаниям геометрии и математической логике.
Самой первой, самой знаменитой и самой гениальной попыткой построения дедуктивной системы были «Начала». Евклида. Пятнадцать книг «Начал» содержат несколько сот теорем, каждая из которых логически следует из определений и аксиом, и снабжена доказательством.
Евклиду случалось давать определения, ошибочные с точки зрения здравого смысла и бесполезные с точки зрения математики. Например, «Прямая есть то, что одинаково расположено относительно всех своих точек» (окружность тоже «одинаково расположена относительно всех своих точек»). Однако если мы взглянем внимательно на доказательства Евклида, то увидим, что он нигде не прибегает к нематематическим способам рассуждения и не пользуется своими ошибочными определениями. Именно поэтому у Евклида вообще нет ошибочных теорем. Такое можно сказать лишь еще об одном великом математике - Гауссе.
Сравним удачную попытку построения дедуктивной теории, предпринятую Евклидом, с другой попыткой, предпринятой много лет спустя Б. Спинозой. Этот, несомненно, великий философ, восхищенный монументальностью «Начал». Евклида, решил применить математический метод к этике. Так возникло его сочинение «Этика, изложенная геометрическим методом». Спиноза перенял у Евклида внешнюю форму его сочинения. В «Этике» есть аксиомы, теоремы, леммы, доказательства, нет лишь самого духа математического метода. Умолчим о том, что его аксиомы содержат утверждения, которые нельзя назвать не вызывающими сомнения (например, аксиома «Сущность человека не содержит в себе необходимого существования»). Обратимся лучше к доказательству утверждения I.
Определение 3 из части I гласит «Под субстанцией я понимаю то, что существует само в себе, или то, что может быть понято само в себе, то есть то, представление чего не нуждается в представлении другой вещи, из которой оно должно было образоваться». Определение 5 «Под явлением я понимаю видоизменение субстанции, или то, что есть в другом, посредством чего оно также представляется»
Из определений 3 и 5, по Спинозе, следует утверждение I «Субстанция по природе предшествует своим состояниям». Прежде всего обратим внимание, что определения 3, и 5 «двойные» небольшое словечко «или», фигурирующее в каждом из них, означает логическую постановку, позволяющую позднее заменять «то, что есть в другом» на «видоизменение субстанции». Но даже если допустить такие определения, то формальный метод позволяет вывести из определений 3 и 5 лишь то, что 1) явление не есть субстанция; 2) для понимания субстанции не требуется понятия явления й т. д. Утверждение I, устанавливающее с помощью выражения «посредством» какое-то новое (временное?) отношение между субстанцией и явлением, формально не следует из определений 3 и 5.
Справедливости ради следует добавить, что предмет рассмотрений голландского философа был гораздо труднее, чем у Евклида и его идеи, очищенные от геометрической «шелухи», обладают большой ценностью и были бы не менее очевидны, если бы Спиноза излагал их без мнимых «доказательств»
МАТЕМАТИКА НЕ ПАНАЦЕЯ
Итак, мы видим, что предмет математики определяется лишь методом, и, что каждая дедуктивная теория может считаться математикой. Однако это определение математики не более чем рама, заполняемая лишь после введения математических аксиом, а они (в известной мере) произвольны.
Люди, далекие от математики, склонны приписывать ей непогрешимость, которой она не обладает и усматривать в математических формулах своего рода «философский камень». Естествоиспытатели не раз пытались и пытаются найти математическую формулу, которая бы охватила их наблюдения или теорию и придала им целостность. Нередко их попытки заранее обречены на неудачу. Действительно, если биолог оперирует такими расплывчатыми понятиями, как «влияние окружающей среды», «наследственность», «раса», «приобретенный признак», и обозначает их математическими символами, то от этого понятия не становятся лучше определенными. Чтобы мы могли применять к, каким-то понятиям математический метод, необходимо прежде всего построить их аксиоматику и каждую аксиому (поскольку речь идет о применимости теории к опыту) подвергнуть сравнению с опытом. Проверка аксиом невозможна, если в игру входят полностью или даже частично не определенные понятия.
Часто совершают еще одну ошибку считают «величиной» то, что не поддается измерению. Формула, являющаяся отнюдь не конечной целью прикладной науки, а лишь средством для описания и понимания известных, и предсказания новых явлений, становится при этом надгробием мысли, на котором следовало бы написать «Торжество науки над здравым смыслом». Интересно заметить, что математики таких недоразумений не любят и часто предостерегают от переодевания нематематического содержания в математический наряд.
Ясно, что установление математического господства над новой областью мысли всякий раз становится необычайно важным научным достижением, но, чтобы расширить границы применимости математики, недостаточно просто вбить колышки с математическими надписями. Сначала необходимо. полностью выяснить основы математизируемой области знания и сформулировать строгие определения.
Несколько слов о развитии самой математики. Прогресс математики происходит совсем иначе, чем прогресс естественных и гуманитарных наук. Ее развитие напоминает развитие живого организма. К тому же в математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах, ощущается, насколько растянуто шествие человечества.
Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем египетские пирамиды и они составляют большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи средних веков, а уровня математики XVIII века не достигает и один человек на тысячу.
Если бы мы пожелали превратить первобытного человека в современного математика, нам пришлось бы провести его тернистым путем, который нигде нельзя сократить. «В математике нет царской дороги», - говорили древние. Но расстояние между стражами, идущими в авангарде и необозримой массой путников все возрастает, процессия все растягивается и идущие впереди удаляются все больше и больше. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Находятся и такие, кто просто не верит в их существование.
КАК РЕШАЮТ ЗАДАЧИ!
Каждый знает, что заниматься математикой означает не только читать доказательства известных теорем. Всю прелесть математики составляют нерешенные задачи. Универсальный метод, который позволял бы решать любые задачи, не существует. Математический метод позволяет проверить правильность доказательства, когда оно уже написано, но ничего не говорит о том, как его искать. Можно воспользоваться ценными советами, содержащимися в известном сочинении Декарта «Рассуждение о методе». Декарт рекомендует разбивать каждую трудную задачу на столь простые, чтобы их можно было решить, а затем обратным ходом, поднимаясь ступень за ступенью в гору, восстановить решение исходной задачи. Однако иногда даже весьма разумные советы бывают столь же бесполезными, как альпеншток и канат в руках туриста, пытающегося взобраться на стометровую отвесную стену без единой трещинки. Опыт, знание многих математических теорем и, что гораздо важнее, их доказательств, умение обнаруживать аналогию между известными теоремами и предметом собственных исследований, терпение, изобретательность в комбинировании идей, отстоящих далеко друг от друга, и, наконец, трудно определимое чутье, «математические способности», обостренная интуиция - вот инструменты, с которыми истинный математик отправляется на поиски новых теорем. Если ему немного «повезет», и участок леса, в котором он ищет математического зверя, не слишком исхожен другими, то поиск может закончиться успешно.
Иногда даже сложные математические задачи формулируются совсем просто, как, например, следующая задача. Доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида х2+1, где х - натуральное число. Иначе говоря, требуется доказать, что в последовательности 1^2-|-1=2, 2^2 + 1 = 5, 3^2 + 1 = 10, 4^2+ 1 = 17, 5^2 + 1 = 26, 6^2 + 1 = 37. содержится бесконечно много простых чисел 2, 5, 17, 37, Доказательство этого утверждения до сих пор не найдено.
Иногда самый характер задачи наводит на мысль о том, что подлежащее доказательству утверждение ошибочно. В этом случае математик пытается найти контр. пример или построить некий математический объект, удовлетворяющий условию, но противоречащий утверждению теоремы.
Например, кто-то высказывает утверждение «Произведение первых простых чисел плюс единица всегда равно простому числу»
Попробуем найти контр. пример:
2 + 1 =3
2x3 + 1=7
2x3x5 + 1 =31,
2x3x5x7 + 1 = 211
2x3x5x7x11 + 1 = 2311,
2x3x5x7x11x13 + 1 =30031 = 59-509.
Число 30031 оказывается составным, что противоречит высказанной гипотезе.
Скажем несколько слов по поводу так называемых теорем существования, в которых требуется доказать, что математический объект с заранее заданными свойствами существует или, соответственно, не существует. Например, в теории алгебраических уравнений наряду с классической задачей о разрешимости данного уравнения в радикалах можно поставить задачу о том, каждое ли алгебраическое уравнение имеет хоть один корень. Эту задачу решил Даламбер. Он доказал, что в области комплексных чисел каждое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Лишь в современной математике (начиная с XIX века) чистые теоремы существования выступили на первый план. Они придают всей математике особый оттенок утверждение о том, что, какой-то объект скрытно (ибо неизвестно, как его найти или построить) существует, возводит математика в ранг творца и озаряет его работу метафизическим ореолом.
