Научно-популярный физико-математический журнал для школьников старших классов «Квант». Академии наук СССР, и Академии педагогических наук СССР за четыре года, которые он существует, успел понравиться читателям и статьями своими, и задачами, стать полезным пособием для абитуриентов. Тираж журнала с 201 тысячи экземпляров в 1970 году вырос до 385 105 экземпляров в 1974 году, то есть почти в два раза
Предлагаем вам реферат статьи В. Березина «Что видит внимательный глаз» («Квант» № 12, 1973 г.)
Не правда ли, удивительно красиво это кружево линий? В ажурной красоте - строгий порядок геометрического построения такая картина получается, если соединить между собой по линейке все вершины правильного 24-угольника.
Задача 1. Сколько же всего линий пришлось провести художнику? Сколько диагоналей содержит правильный п-угольник?
Задача 2. В кружевном переплетении довольно легко увидеть концентрические окружности. На самом деле это, конечно, не окружности, а правильные 24-угольники, образованные пересечением диагоналей исходного 24-угольника.
Сколько их, таких вписанных окружностей? На этот вопрос легко ответить, проведя диагонали из одной точки - они будут касательными к искомым окружностям. Если середины диагоналей, проведенных из одной точки, соединить плавной кривой, получится замкнутая линия. Как она называется? (рис. 3).
Задача 3. Несколько труднее увидеть квадраты и правильные треугольники.
О том, что они есть и их немало, говорят рисунки 1, 2, и 7, на которых представлена небольшая часть их.
Можно ли определить точное число квадратов и правильных треугольников?
Задача 4. Если соединять между собой каждую 11-ю вершину, то есть проводить диагонали 1 - 12, 12 - 23, 23 - 10, и т. д., то в конце концов ломаная линия замкнется в точке 1, получится правильный звездчатый 24-угольник (рис. 4). Соединение каждой 10-й вершины приводит к построению двух правильных звездчатых 12-угольников 1 - 11 - 21 - 7 - 17 - 3 - 13 - 23 - 9 - 19 - 5 - 15 - 1, и 2 - 12 - 22 - 8 - 18 - 4 - 14 - 24 - 10 - 20 - 6 - 16 - 2 (рис. 6).
Если соединять вершины по схеме 1 - 10 - 19 - 4 - 13 - 22 - 7 - 16 - 1, то, как видите, получаются 3 звездчатых правильных 8-угольника (рис. 5). Соединяя вершины 24-угольника через одну, то есть каждую 2-ю, получим 12-угольник, через две (каждую 3-ю) - 8-угольник.
Не прибегая к построению, скажите, что будет с ломаной, если соединять ее звеньями последовательно каждую 5-ю вершину?
Сколько может быть правильных звездчатых 24-угольников?
Задача 5. Отвлекитесь от 24-угольника и попробуйте нарисовать звездчатый правильный семиугольник. Сколько вариантов вы придумали?
Задача 6. В журнале уже разбиралась задача, сколько точек пересечения имеют диагонали п-угольника, если ни в одной точке не пересекаются более двух диагоналей (см. «Наука и жизнь» №№ 1, 2, 1969 г.). Ответ гласил Сп4 (число сочетаний по 4 из п-элементов). В правильном п-уголь-нике число точек пересечений диагоналей меньше за счет того, что в одной точке из-за симметрии, бывает, пересекаются и более двух диагоналей (рис. 7). Сколько же точек пересечения диагоналей в правильном 24-угольнике?
Задача 7. Сколько пятиконечных звезд можно насчитать в основном рисунке (см. рис. 8).
Задача 8. Правильный 24-угольник можно построить без линейки и циркуля одним лишь перегибанием листа бумаги. Как?
И, наконец, обратили вы внимание на то, что между двумя самыми маленькими 24-угольниками, которые кажутся окружностями, есть еще одна окружность, нарисованная черным по-черному, чернее черного фона? И во втором кольце тоже. А в третьем - уже нет. Что это такое? Да ничего!.. Фантом, призрак! Черные окружности - оптическая иллюзия контраста. В этом можно убедиться, наложив на маленький участок окружности лист бумаги с отверстием диаметром примерно 5 мм.
