Сорок моделей оригинальных механизмов создал Пафнутий Львович Чебышев. В пятнадцати мемуарах он описал их устройство, и высказал общие положения относительно их проектирования.
Механизмы Чебышева, безусловно, интересны. Многие из них с небольшими изменениями применяются в современных машинах и приборах. Но не они принесли славу Чебышеву. Имя Чебышева, как создателя теории механизмов прославили его сочинения, в которых впервые в мире решались задачи аналитического синтеза механизмов. И в этих сочинениях непреходящую ценность представляют не сами результаты проектирования, какого-то конкретного механизма, но те общие методы, которые предложил Чебышев для отыскания оптимальных параметров каждого механизма, и их сочетаний. Эти методы оказались настолько общими, что сегодня с их помощью решаются задачи оптимального проектирования любых современных механических устройств и приборов.
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА УАТТА
Теория механизмов, известных под названием параллелограммов, - так называется первый мемуар П. Л. Чебышева по теории механизмов, опубликованный в 1863 году. Речь идет о прямолинейно направляющем механизме Уатта, который применялся во времена Чебышева в некоторых конструкциях паровых машин для преобразования вращательного движения кривошипа в поступательное движение поршня.
В наши дни механизм Уатта уже не используется в технике, но от этого мемуар Чебышева не утрачивает своего исключительного научного значения. Ценность его состоит в том, что именно здесь содержится общая постановка задачи о синтезе механических устройств.
П. Л. Чебышев начинает свой мемуар с подробного рассмотрения тех требований, которые предъявляются к механизму Уатта. Анализируя их, Чебышев устанавливает основной критерий, определяющий качество механизма траектория той точки, к которой подсоединяется стержень поршня, должна быть близка к прямой линии. Степень приближения оценивается величиной максимального отклонения от прямой; при правильно выбранных параметрах механизма эта величина должна быть минимальна.
П. Л. Чебышев отыскивает функцию, описывающую отклонение от прямой и, таким образом, характеризующую величину основного критерия. Функция имеет сложный вид. Для того, чтобы упростить ее выражение, Чебышев прибегает к известному, и часто применяемому до сих пор способу - раскладывает функцию в степенной ряд и ограничивается затем несколькими членами ряда. Но к этому известному способу он дает существенную поправку, положившую начало знаменитой теории наилучшего приближения функции. Усеченный степенной ряд хорошо приближает функцию лишь в окрестности точки разложения; если же требуется приблизить функцию на некотором конечном интервале, приближающий полином нужно строить иным способом. Его коэффициенты можно получить, требуя, чтобы максимальное абсолютное различие между полиномом, и заданной функцией на выбранном интервале было минимальным.
Так возникла задача о нахождении функций, наименее уклоняющихся от нуля. Разрабатывая оптимальную конструкцию параллелограмма Уатта, Чебышев находит, что наименее уклоняющимися от нуля функциями должны быть полиномы, определяет условия, которым должны удовлетворять коэффициенты этих полиномов, и, наконец, находит их - они получают название полиномов Чебышева.
Их применение в синтезе механизмов позволяет упростить выражение для основного критерия и в то же время сохранить достаточно точное его выражение. Теперь уже не представляет труда вычислить искомые параметры параллелограмма Уатта, выполнить заключительный этап синтеза. Однако в своем мемуаре Чебышев не делает этого. В конце мемуара только сказано «В следующих параграфах мы покажем приложение выведенных нами формул к нахождению элементов параллелограммов, удовлетворяющих условиям, при выполнении которых точность хода этих механизмов наибольшая»
Приложение не было опубликовано, видимо, потому, что, применяя условия наилучшего приближения, Чебышев сконструировал новый оригинальный механизм, который по структуре своей схож с параллелограммом Уатта, но дает значительно лучшее приближение шатунной кривой к прямой линии.
«О ПРОСТЕЙШЕЙ СУСТАВНОЙ СИСТЕМЕ»
Уточняя решение задачи о синтезе прямолинейно направляющего механизма, Чебышев одновременно рассмотрел более общий случай - синтез механизмов, в которых шатунная кривая на некотором участке приближена к дуге окружности. В последнее время эти механизмы получили распространение в некоторых автоматах, где требуется получать прерывистое движение исполнительных органов (захватов, резцов, и т. п.) с заданным временем остановки.
И здесь наибольшее значение имеет не разработка конструкции, но развитие методов синтеза механизмов. В наиболее полном виде это развитие представлено в мемуаре П. Л. Чебышева «О простейшей суставной системе, доставляющей движения, симметрические около одной оси». Мемуар был опубликован в 1888 году - незадолго до смерти ученого.
Устанавливая основной критерий, которым оценивается качество механизма, Чебышев вводит, и ограничивающие условия, которым должны удовлетворять параметры механизма. Такими ограничивающими условиями служат те соотношения, которые определяют возможность сборки механизма. Они проверяются в процессе проектирования.
Оценивая различие между функцией-критерием, и полиномом, приближающим ее, Чебышев применяет особый упрощающий прием, который впоследствии получил название взвешенного приближения. Разность между постоянным радиусом приближаемой дуги и переменным значением радиуса-вектора шатунной кривой Чебышев заменяет разностью квадратов радиусов. Но разность квадратов равна прежней разности радиусов, умноженной на их сумму, а говоря более общо - на некоторую функцию угла поворота. Этот добавочный сомножитель, и называется весом. Применение взвешенного приближения позволило расширить область приложения аналитической теории механизмов, дало возможность еще более упростить функцию-критерий.
Более общий вид функций, характеризующих величину основного критерия, потребовал перехода от степенных многочленов, наименее уклоняющихся от нуля (многочленов Чебышева) к полиномам более общего вида, называемым теперь полиномами системы Чебышева.
ТРИ ЭТАПА СИНТЕЗА
Говоря о работах Чебышева, мы подчеркивали, что наиболее замечательны в них не разработка конкретного механизма, и даже не метод, которым она проведена. Замечательна предложенная Чебышевым общая постановка задачи о синтезе механизмов. Она, как мы видели на примере с параллелограммом Уатта, начинается с установления требований, которые предъявляются к механизму. Определение искомых параметров кинематической схемы - это лишь завершающий этап синтеза. Ему предшествует еще один - поиск удобного аналитического выражения для функции, которая характеризует величину основного критерия.
Итак, три этапа. При их описании будем пользоваться современной терминологией - это нисколько не изменит содержания принципов, сформулированных Чебышевым.
Первый этап - выбор основного критерия, и ограничивающих условий. Каждый механизм в зависимости от назначения и условий работы должен удовлетворять определенным требованиям. Подчас эти требования бывают даже противоречивыми, но среди них всегда можно выбрать решающее для правильной работы механизма. В соответствии с этим можно выбрать, и основной критерий, которым оценивается качество механизма. Он, очевидно, является некоторой функцией параметров механизма. Остальные требования к конструкции формулируются в виде ограничений на параметры, выраженных в виде неравенств.
Таким образом, по мысли Чебышева, на первом этапе происходит формализация требований, предъявляемых к механизму, - проблемы технологического и конструктивного характера превращаются в математические задачи.
Второй этап - поиск аналитического выражения для функции, характеризующей величину основного критерия. Для некоторых механизмов это выражение может оказаться весьма сложным. Между тем применять только точные выражения основного критерия вовсе не обязательно. Можно использовать, и более простые приближенные выражения при условии, что погрешности приближения будут меньше тех погрешностей, которые возникают в реальном механизме из-за неточного изготовления деталей, упругости звеньев и подобных причин. Как показал в своих работах Чебышев, для замены функции-критерия можно подыскать функции, которые имеют более простой вид, и в то же время сохраняют точность выражения, вполне достаточную для практики. Расхождение между исходной и приближающей функцией можно оценивать не одной лишь абсолютной величиной их разности, но различными способами так называемого взвешенного приближения, которые могут существенно упростить математическую трактовку задачи.
Третий этап - вычисление постоянных параметров механизма из условий оптимизации основного критерия. Оптимальное значение критерия может быть либо минимальным (как было в случае с отклонениями шатунной кривой от приближаемой прямой. или дуги), либо максимальным (если речь идет, например, о коэффициенте полезного действия). Найденные параметры определяют кинематические, и динамические свойства механизма.
Таковы три этапа синтеза, которые составляют основное содержание задачи о проектировании любого механизма. Все последующие операции - расчет деталей на прочность, окончательный поиск конструктивных форм и т. д. - уже не могут изменить основных - кинематических, и динамических - свойств механизма.
Принципы Чебышева, изложенные в двух упомянутых мемуарах, в дальнейшем оказались приложимыми ко многим современным механизмам почти без изменений. Многие современные методы проектирования целиком укладываются в общую постановку задачи о синтезе механизмов, данную Чебышевым. Способы поиска оптимальных параметров с учетом основного критерия и ограничивающих условий, включая сюда расчеты на ЭВМ, могут рассматриваться лишь, как видоизменения средств для проведения вычислительных работ.
Та же постановка задачи сохраняется при проектировании таких современных механизмов, о которых, и не мечталось во времена Чебышева. В книгах и статьях последних лет синтез по Чебышеву применяется к механизмам с гидравлическими, и электрическими устройствами, к приборам с заданным быстродействием и т. д. И в самом деле при их разработке надо только суметь правильно выбрать основной критерий, и ограничивающие условия, составить достаточно точное аналитическое выражение для основного критерия и применить удобный способ для нахождения оптимальных параметров, и их сочетаний-то есть пройти те три этапа синтеза, которые впервые были указаны в работах Чебышева
Поэтому можно сказать, что все развитие аналитических методов синтеза механизмов и расширение области их применимости лишь подтвердили правильность постановки задачи о синтезе, которую дал Чебышев, и показали, что ее можно использовать практически во всех задачах, которые ставятся современным машиностроением и приборостроением.
Если учесть, что определение кинематических, и динамических свойств любого механического устройства является с точки зрения теории механизмов основным и наиболее важным, то можно с полным правом назвать П. Л. Чебышева одним из создателей современной теории механизмов.
Со дня рождения П. Л Чебышева прошло сто пятьдесят лет, и только теперь в полной мере оценено значение его работ по теории механизмов - работ, которые, как бы предвидели будущее развитие этой теории.
