Быть может, вам приходилось развлекаться такими стереометрическими головоломками по двум проекциям предмета начертить третью и нарисовать его общий вид. Представьте теперь, что скульптору дали две фотографии одного, и того же человека - снимки в профиль и анфас, и попросили по этим двум «проекциям» создать объемную скульптуру. Задача скульптора посложнее, не правда ли?
Но еще сложнее задача биолога, который по нескольким срезам восстанавливает строение живой ткани, задача геолога, который по нескольким шлифам определяет структуру породы. По ряду плоских разрезов, произведенных в различных направлениях, нелегко создать пространственную картину. Эти задачи требуют для своего решения точных методов. Их и разрабатывает молодая наука - стереология.
Доктор физико-математических наук Г. ИВАНИЦКИЙ, заместитель директора Института биологической физики АН СССР.
Первый президент Международного стереологического общества, американский морфолог Ганс Элиас так описывает историю возникновения стереологии:
«1960 г. Нью-Йорк. Идет Международный конгресс анатомов, В перерыве между заседаниями участники конгресса осматривали город или стремились к прохладным водам океана. Прогулка под парусом вокруг острова Манхэттен - прекрасное развлечение. Судьба случайно свела в одной яхте европейца, и американца (это были Ганс Элиас и Эвальд Вейбел, нынешний президент общества. - Прим. авт.]. Разговорившись, они выяснили, что оба, исследуя срезы трехмерных биологических структур, используют количественные статистико-геометрические методы, однако эти методы развиты слабо, и из-за этого возникает ряд трудностей с их применением. Короче, собеседники пришли к выводу, что желательно обсудить с коллегами, интересующимися количественным исследованием трехмерных структур, задачи, которые при этом возникают. Объявление в нескольких научных журналах собрало 11 - 12 мая 1961 года в горах Фельдберга (Шварцвальд) 11 ученых. Так появился термин «стереология» и «Международное стерео-логическое общество»
Итак, под стереологией следует понимать методы исследования трехмерной структуры тел, когда известны только их сечения или проекции на плоскость. Молодая наука сразу нашла почитателей. Стереологическое общество объединило деятелей таких, казалось бы, разных областей знаний, как биология, минералогия, металлография, математика. В Швейцарии появился журнал «Стереология» «Журнал по микроскопии». Лондонского Королевского общества ввел у себя раздел по стереологии; были выпущены труды конгрессов.
Надо сказать, что стереология родилась не на пустом месте, и романтическая история о случайной встрече двух ученых могла бы остаться только в их памяти, если бы не ряд обстоятельств.
19 июля 1932 года молодой советский ученый А. А. Глаголев подал заявку на изобретение, а через два года опубликовал статью о новом микроскопическом анализе горных пород «методом точек». Спустя тридцать лет этот метод становится классическим в стереологии.
Другой советский специалист, С. А. Салтыков, в 1938 году применил «метод точек» в исследовании металлов. Затем им были созданы многие другие количественные способы описания структуры. В 1958 году появилась его книга «Стереометрическая металлография», которая выдержала три издания. Через три года после выхода монографии в свет известный американский металловед Андервуд, один из активных членов стереологического общества, писал «Русские нашли эту тему достаточно ценной, чтобы опубликовать целую книгу.»
Весной 1959 года академик Г. М. Франк собрал в Институте биологической физики АН СССР небольшую группу специалистов и поставил задачу «Создать семейство специализированных вычислительных автоматов для исследования геометрии, и химического состава биологических микроструктур». Через два года в Ленинграде на Всесоюзной конференции по применению радиоэлектроники в биологии и медицине мы докладывали о первом таком автомате. Затем последовала целая серия приборов, были разработаны многие машинные стереологические алгоритмы. Английская фирма «Металле Рисёч» приступила к разработке подобных устройств лишь спустя несколько лет.
Я привел эти примеры отнюдь не ради разговора о приоритете. Важно другое специалисты, работающие в различных областях, давно, и независимо пришли к мысли, что необходимо разработать набор математических приемов и методов для исследования структур. Больше того, они, не располагая информацией друг о друге, самостоятельно начали создавать весьма схожие методы. Идея объединения усилий зрела во многих головах, и наконец нашла благодатную почву.
ЗАДАЧА, КОТОРОЙ ДВЕСТИ ЛЕТ
Что объединяет изучение тектоники Луны, и поверхности биологических организмов? Есть ли, что-нибудь общее в описании подвижных образований почвы, и участков коры головного мозга, изрезанных извилинами?
На иллюстрациях к этой главе показана структура самых разнообразных объектов, которые исследуются методами стереологии. Слева вверху - два снимка маленького червеобразного паразита Schistosoma niansoni. На среднем снимке при большом увеличении дана центральная часть головы этого паразита, похожая на кратер вулкана. Эти снимки получены с помощью электронного сканирующего микроскопа с увеличением свыше 10 000 раз.
Если мы поднимемся на следующий размерный уровень и даже перенесемся в другую область знаний, то также столкнемся с необходимостью подобных геометрических исследований. На фото слева внизу показана структура обычного града. Она помогает понять механизм образования ледяных «камней», а понять механизм - это научиться бороться с градом.
Наконец, правое фото переносит нас в область макроразмеров. Эта фотография сделана с искусственного спутника Земли. На ней изображено спиральное завихрение циклона, который привел к сильнейшему урагану 17 октября 1968 года в штате Флорида (США). Исследовать структуру атмосферы, определять анизотропию воздушных потоков, изучать перемещения воды, вычислять величину, и процентное соотношение областей с различным по возрасту складчатым основанием поверхности Земли по аэрофотоснимкам и решать множество других «глобальных» проблем можно с помощью все той же стереологии, которая так удобна при изучении микрообъектов. Разница размеров в 1016 разве помеха? Методы изучения остаются общими.
Стереология - наука математическая. Теория вероятностей, и аналитическая геометрия составляют ее основу. Взгляните на нижний рисунок на стр. 67. Попробуйте определить длину нарисованной линии. Предложенное измерение длины покажется вам довольно утомительной операцией, если вы ничего не знаете о задаче Бюффона.
Задача об игле была решена Бюффоном еще в 1770 году. Ее можно сформулировать так если случайно уронить на пол иглу определенной длины, то, какова вероятность того, что игла упадет на щель между двумя соседними досками определенной ширины? Каково отношение числа пересечений иглы со щелью к общему числу бросков?
Казалось бы, ясно, что искомая вероятность должна быть прямо пропорциональна длине иглы и обратно пропорциональна расстоянию между щелями. Расчет подтверждает это предположение, и дает коэффициент пропорциональности, в знаменатель которого входит число «пи» (см. формулу на верхнем рисунке). Перемножая члены образовавшейся пропорции, мы получаем произведение числа бросков на длину иглы.
Этой величине можно придать наглядный смысл. Допустим, что мы много раз кидали окрашенную иглу на пол, и каждый раз она оставляла след. Выстроим следы, не изменяя их наклона, в одну линию. Длина этой причудливой линии, как раз, и равна произведению числа бросаний на длину иглы. Согласно формуле Бюффона, она определится через ширину половиц и число пересечений иглы со щелями.
Отсюда уж недалеко до решения поставленной задачи о длине извилистой линии. Наложим на линию (см. рисунок) набор параллельных прямых с определенным расстоянием между ними (они сыграют роль половиц из задачи Бюффона), и подсчитаем число пересечений прямых с линией. Искомая длина линии выразится через произведение двух величин расстояния между параллельными прямыми и числа пересечений прямых с линией.
(При решении задачи Бюффона говорилось, что все возможные положения иглы на полу в равной мере правдоподобны. На практике могут встретиться кривые, которые имеют неслучайную ориентацию аппроксимирующих отрезков игл, например, вытянутые фигуры. Чтобы, и в этом случае можно было применить метод Бюффона, нужно несколько раз случайным образом наложить на кривую набор параллельных линий, а результат усреднить.)
ХОТИТЕ ВЕРЬТЕ - ХОТИТЕ ПРОВЕРЬТЕ
Внутреннее строение твердых непрозрачных тел можно исследовать лишь при условии, что изучаемый материал, как-то «приоткрыт». Самый простой способ «открыть» его - разрезать на куски. Правда, при этом приносится в жертву целостность трехмерной структуры. Однако в плоскости сечения сохраняются «следы» внутреннего строения. По ним и нужно восстановить количественные характеристики компонентов тела.
Для получения «следов» непрозрачных объектов (металл, керамика, горные породы) приготовленные сечения шлифуют, полируют, а иногда, и протравливают кислотами. Отсюда название таких препаратов - шлифы. Их можно наблюдать только в отраженном свете. Из полупрозрачных биологических объектов приготавливают тонкие срезы, их наблюдают в проходящем свете. Срез имеет конечную толщину, иногда довольно существенную по сравнению с размером исследуемых структур.
Как и в любом разделе прикладной математики, в стереологии часто идут на упрощения, без которых невозможно обойтись при замене реального объекта его математической моделью. Многие стерео-логические методы предполагают «однородность» структуры в том смысле, что она должна быть составлена из геометрических тел одного типа, например, только из шаров (см. рисунок на стр. 68) или из эллипсоидальных фигур. Размеры их могут быть различны.
Как же сделать формулы, выведенные для идеализированных однородных структур, применимыми к реальным препаратам? Существует, во-первых, избирательная обработка, например, окраска. Этот путь широко применяется в биологии покрасьте только ядра клеток, и вы получите идеализированный препарат, составленный из шаров или эллипсоидов вращения; наполните кровеносные сосуды исследуемой ткани тушью - перед вами препарат, состоящий из цилиндров или волокон. Второй путь состоит в том, что сам исследователь или анализирующее автоматическое устройство выбирает фигуры одного типа, производя их измерение.
В подписях под рисунками сформулированы некоторые типичные задачи, которые решаются с помощью стереологических методов. Сегодня решено свыше двух десятков аналогичных задач. Получены формулы для количественного описания ориентации структур, для определения формы включений, для исследований топологических характеристик трехмерных структур, и многие другие.
Формулы стереологии существенно облегчают количественное исследование структур. Правда, порой они вызывают у специалистов недоверие из-за своей простоты. В этом смысле примечательна история, которую я услышал от профессора С. М. Блинкова. Лет десять назад он совместно с одним математиком опубликовал в «Докладах Академии наук» формулу для определения удельной длины кровеносных сосудов в мозгу по их следам на срезах. Это было обобщение формулы Бюффона на трехмерный случай, когда ориентация кривой в пространстве имеет предпочтительное направление. Через три года профессор получил письмо от немецких морфологов. Они писали, что «проверили» применимость формулы взяли длинную капроновую нить, и свили ее в клубок, затем, растянув клубок в определенном направлении, залили его парафином, приготовили срезы, и посчитали по формуле удельную длину нити. Расхождение не превышало нескольких процентов. Отсюда они сделали заключение, что формулу можно рекомендовать для морфологических исследований.
Позднее в журналах я часто встречал такого рода «проверки» стереологических положений. Впрочем, в последнее время такие «проверки» встречаются все реже, и реже.
ОТ ОБЪЕМА К ТОЧКЕ
Какие же методы может предложить стереология для расшифровки пространственной структуры многокомпонентных объектов? Мы расскажем здесь об одном из них, простом по сути, и эффективном по результатам, - методе снижения размерности.
Собственно говоря, снижением размерности является уже приготовление плоских шлифов, и срезов, с которого начинается исследование пространственной структуры. Поскольку шлиф плоский, то третье измерение всех структурных элементов исчезает. «Следами» их поверхностей на шлифе будут линии границ, а объемы, заключенные внутри поверхностей, превратятся в площади внутри контуров. Если бы рассматриваемые. тела содержали, какие-либо нитевидные структуры, то на шлифе от них остались бы «следы» в виде точек.
Итак, сечение тела привело к тому, что размерность «следов» структурных элементов снизилась на единицу, объемы превратились в площади, площади - в линии, а линии - в точки (верхний рисунок).
Попытаемся продолжить снижение размерности. Представим плоскость шлифа, рассеченную равно отстоящими параллельными линиями (средний рисунок). Эти линии условно вынем из шлифа и, соединив конец одной с началом другой, получим одну длинную линию. Такую операцию называют разверткой плоскости.
Произошло преобразование двумерной плоскости шлифа в одномерную линию - размерность снизилась еще на единицу. Объемам теперь соответствуют длины хорд, поверхностям - концы хорд (то есть точки), а «следы» нитевидных структур, которым раньше соответствовали точки, теперь исчезли (вероятность случайной встречи линии с точкой равна нулю).
Снизим размерность еще раз. Вырежем из линии, в которую мы развернули плоскость шлифа, отдельные участки исчезающе малой длины, отстоящие друг от друга на определенное расстояние. Плоскость шлифа теперь оказалась представленной набором точек (рисунок внизу). «Следами» объема структурных элементов на сей раз являются точки, а «следы» поверхностей, и нитевидных структур исчезли.
Описанные операции довольно элементарны. Однако из этих очевидных преобразований вытекает важное правило, облегчающее практические измерения. Допустим, нам необходимо определить удельное объемное содержание структурных элементов внутри тела. Непосредственное измерение объемов практически невозможно ведь для этого пришлось бы извлечь структурные элементы из тела.
Можно поступить проще найти удельное объемное содержание структур по «следам» после первого снижения размерности (рисунок вверху). Очевидно, что отношение объемов двух цилиндров одинаковой высоты равно отношению площадей их оснований. А это значит, что отношение площади структурных элементов к площади всего шлифа даст их удельное объемное содержание.
Однако это еще не самый простой способ измерения удельного объема. Продолжив снижение размерности (средний рисунок), удельный объем можно измерить, как отношение суммы длин хорд, пересекающих в плоскости шлифа структурные элементы, к длине всей линии развертки этой плоскости.
Длины измерять легко, и на этом этапе можно было бы остановиться. Однако следующее снижение размерности (нижний рисунок) приводит к совсем простому способу «точечных» определений удельных объемов (разложение шлифа на точки называется сканированием). Можно показать, что удельный объем равен отношению точек, попавших внутрь контуров сечения структурных элементов (на нижнем рисунке эти точки сделаны черными), к общему количеству избранных точек шлифа.
Пользуясь указанным выше правилом, легко определить, и удельную поверхность структурных элементов, но эту операцию надо делать на стадии линий, так, как при переходе к точечному представлению шлифа следы от поверхностей исчезают.
Измерить относительный параметр, характеризующий внутреннюю структуру тела, проще всего по «следам» на последнем этапе перед их исчезновением.
С помощью изложенных здесь правил были решены многие практические задачи по определению относительных параметров строения тел, например, по измерению фазовой структуры металлов, по вычислению удельной поверхности коры головного мозга животных, и т. д.
