НЕИЗБЕЖНОСТЬ МАТЕМАТИЗАЦИИ
Астрономия и физика раньше других наук пришли к убеждению, что математические методы являются для них не только способом вычислений, но, и одним из основных методов проникновения в существо изучаемых закономерностей. В наше время математизация знаний совершает своеобразный победный марш. И многие науки, остававшиеся до последнего времени вдали от использования математических средств, теперь усиленно наверстывают упущенное. Причина этого заключается, конечно, в первую очередь в том, что качественное изучение явлений природы или процессов экономики, техники, и т. д. уже не может удовлетворить нас ни психологически, ни практически.
Действительно, без точной количественной формулировки закономерностей их невозможно использовать для предвидения, и управления. Пусть, к примеру, нужно совершить запуск космической станции для исследования Марса, а нам неизвестны математические средства механики. Как без этих знаний рассчитать первую космическую скорость? Как рассчитать мощность двигателей, чтобы преодолеть притяжение Земли? Как рассчитать траекторию движения, чтобы добиться оптимального расхода горючего? Как рассчитать управление двигателями? Число такого рода «как» можно увеличить буквально неограниченно. Попытки ответить на них путем экспериментирования, как легко понять, безнадежны. Но ведь в таком положении человечество оказывается каждый раз, как только необходимо овладеть, каким-либо явлением и научиться оптимальным образом управлять им. При автоматизации производственных процессов без тщательного логического, и математического описания невозможно рационально вмешиваться в их течение, нельзя обоснованно указывать моменты, когда необходимо такое вмешательство, а также его размер и характер. Указания типа «варить суп до готовности» или «затягивать болты до отказа» для управляющего устройства недостаточны. Необходимы указания, которые будут ему «понятны» Понятны же управляющему устройству только точные указания, и притом высказанные на доступном ему языке. Вот почему в результате автоматизации требования техники к математике все увеличивались и понадобилось создавать новые главы математики, разрабатывать новые методы исследования возникающих задач. Так автоматизация крепкими нитями связала развитие техники с математикой.
Место математики в других науках, и практике невозможно установить раз и навсегда. Взаимоотношения их весьма сложны, и изменяются. Растут со временем наши знания и практический опыт, да, и сама математика не остается на месте. Ленинский тезис об отсутствии абсолютного знания, о постепенном приближении наших сведений о природе к тем истинным закономерностям, которые господствуют в ней, относится и к взаимоотношению математики с другими областями знания, и деятельности.
В связи с возросшим значением математического моделирования процессов разного типа очень важно подчеркнуть одну мысль, которую сейчас нередко забывают. Математизация науки и практической деятельности состоит не в том, что из процесса познания удается исключить эксперимент, наблюдение, а в том, что на базе предварительного опытного знания, и известных законов удается выработать приемлемые исходные предпосылки и на их основе делать строгие заключения, и выводы, создавать методы, позволяющие приходить к следствиям, которые получить непосредственно невозможно.
Цель математически оформленных теорий состоит не только в том, чтобы описать с помощью точных формул уже накопленные знания, но и в том, чтобы предсказать новые явления. Если эти предсказания оправдываются, теория утверждает свое положение, и продолжает дальнейшие выводы. Но, поскольку математическая теория того или иного реального явления представляет собой лишь приближенное его описание, неизбежно рано или поздно будут наблюдаться расхождения между теорией и реальностью. Окажется, что, какое-то следствие теории не подтверждается экспериментально или же, какой-то опытный факт не находит объяснения внутри существующей теории. Мы получаем сигнал о недостаточности теории, о необходимости изменения тех или иных исходных, и казавшихся ранее незыблемыми ее положений. Возникает необходимость в создании новой теории, которая должна не только объяснить те факты, в отношении которых старая теория была несостоятельной, но и сохранить все прежние положительные знания.
Математизация науки, и практики состоит не только и не столько в том, что та или иная область знания начинает применять уже готовые математические методы, и результаты, а в том, что начинаются поиски того специфического математического аппарата, который позволил бы в данной обстановке наиболее полно описывать интересующий нас круг явлений. Как правило, такого математического аппарата еще нет, его нужно создать. Так случилось, например, с математическим анализом, рождение которого было вызвано необходимостью математического описания проблем движения. Аналогичная ситуация сложилась, когда возникла необходимость разработки математических методов оптимального использования имеющихся ресурсов. Эти проблемы практики явились причиной создания таких математических теорий, как линейное и нелинейное программирование, теория массового обслуживания.
Процесс познания природы, и прогресс человеческой практики безграничны. Вместе с их развитием будут совершенствоваться и пополняться математические методы, поскольку прогресс науки, и техники будет одним из решающих стимулов прогресса самой математики. Что придется создавать в математике для прогресса естествознания, техники, экономики, лингвистики и других аспектов общественного развития, мы, конечно, не знаем. Однако уже теперь можно высказать несколько общих утверждений прогресс прикладной математики неразрывно связан с опережающим развитием общих математических идей, но само разделение математики на прикладную, и теоретическую теряет прежний смысл, поскольку можно утверждать, что нет математических дисциплин, которые не находили бы тех или иных применений к важным задачам практики или естествознания.
ЭВОЛЮЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
На протяжении всей истории естествознания содержание, объем и характер математики изменялись неоднократно, так же, как представление о том, что такое прикладная математика. В этом нет ничего удивительного, поскольку человечество по мере накопления знаний, углубления сведений о природе, а также по мере изменения орудий, и средств труда вынуждено привлекать новые математические приемы для описания интересующих его процессов и явлений.
В глубокой древности, когда еще только зарождались представления о геометрических образах, как предметах специального изучения, когда создавались правила арифметики, вся математика была прикладной. Лишь гораздо позднее наметилось разделение на математику теоретическую, и прикладную. Это разделение ярко подчеркнуто в Диалогах Платона. Но для того периода характерно понимание прикладной математики, как способа использования стандартных знаний в стандартных ситуациях. В действительности же наблюдались и случаи создания новых направлений математической мысли на базе требований практики. Достаточно вспомнить создание элементов сферической геометрии в связи с астрономическими исследованиями.
Создание математического анализа расширило арсенал средств прикладной математики. XVIII, и XIX века прошли под знаменем математического анализа, который вполне справедливо рассматривался в качестве основного оружия и языка естествознания того периода. Но уже в конце XVIII века начали формироваться представления о молекулярном строении материи, а также закладываться основы количественной теории ошибок наблюдений. Эти задачи, так же, как задачи страхования, и демографии, требовали существенно иных представлений, математических идей и методов, и положили начало математической статистике и теории вероятностей. Примечательно, что названные дисциплины в то время не воспринимались, как математические. На рубеже XIX, и XX веков Д. Гильберт в своем знаменитом докладе о центральных нерешенных проблемах математики теорию вероятностей относил к физике.
XX век резко изменил наши представления о прикладной математике. Теория функций комплексного переменного, математическая логика, алгебра, функциональный анализ - все эти направления математической мысли находят применение в физике, экономике, технике. Создается убеждение, что не математика разделяется на теоретическую и прикладную, а интересы математиков, их подход к проблемам делятся на прикладные, и абстрактно-теоретические. Для одних математиков основная задача науки состоит в преодолении трудностей, связанных с решением вопросов, которые не поддавались усилиям прошлых поколений. Эти задачи интересуют математиков сами по себе, вне связи с их местом в развитии не только приложений, но и математики в целом. Других волнует построение фундамента здания математики. Они стремятся так отшлифовать центральные понятия математики, чтобы эти понятия охватывали все ее разделы. Третьи интересуются преимущественно развитием методов исследования. Наконец, существуют, и такие ученые, для которых математика и ее методы являются скорее средством решения проблем практики, чем самоцелью. Основную ценность при этом представляют те математики, для которых данная конкретная задача практики представляет собой первичный источник размышлений. Генеральная же задача состоит в том, чтобы разработать те принципы, на базе которых можно решить не только данную конкретную проблему, но, и множество иных. Именно такой подход является особенно важным для прогресса науки. От такого подхода к развитию науки выигрывает не только данная конкретная область приложений, но и все остальные, в первую очередь сама теоретическая математика, поскольку это позволяет ей находить совсем свежие области исследований, которые невозможно обнаружить путем отвлеченных рассуждений.
ПРОДИКТОВАНО ЖИЗНЬЮ
Одним из самых ярких примеров проникновения математических методов в новые области следует признать кибернетику.
Идея управления в зависимости от информации, полученной от управляемого объекта, увлекла представителей самых различных наук. Эта идея оказалась очень продуктивной, и позволила использовать математические средства в таких направлениях деятельности, которые традиционно считались нематематическими. Для иллюстрации расскажу о начале работы в Киеве по постановке медицинского диагноза с помощью вычислительных машин.
В начале 1956 года по приглашению терапевтического общества специалист по вычислительной технике инженер Е. А. Шкабара и автор выступили с докладом о возможностях современных вычислительных машин, и высказали мысль о том, что эти устройства найдут исключительно большое применение в медицине. В качестве одного из применений мы назвали использование их для установления медицинского диагноза на базе наблюдений над больным, а также возможность автоматического получения направлений на необходимые последующие осмотры или анализы. Первоначальная реакция видных врачей-диагностов была резко отрицательная, так, как сама идея в то время казалась слишком необычной. Но наше предложение увлекло известного хирурга Н. М. Амосова. Лишь позднее, когда у нас были получены некоторые результаты и была создана первая машина для диагноза сердечно-сосудистых заболеваний, мы получили предложение от ряда крупных специалистов работать совместно, как по диагностике сердечно-сосудистых заболеваний, так, и иных, в том числе и психических. Высказанные нами тогда идеи сейчас уже не считаются чем-то неестественным, и противоречащим логике вещей. Более того, теперь во всем мире имеется множество специальных лабораторий, в которых систематически изучаются подобные проблемы. Создано также международное общество медицинской кибернетики, объединяющее большое число выдающихся врачей и специалистов иных направлений науки.
До последнего времени развитие математики происходило преимущественно под влиянием физики, астрономии, и техники. Несомненно, специфика требований этих научных дисциплин накладывала весьма значительный отпечаток на характер математического прогресса.
Современное развитие биологии и смежных с нею наук убедительно показывает, что их дальнейший прогресс должен быть связан с широким использованием математических методов. Человечество приступило к изучению таких биологических явлений, непосредственное наблюдение которых представляет огромные сложности, если вообще возможно. Удается наблюдать лишь некоторые вторичные явления. Чтобы эти наблюдения приносили пользу, нужно научиться строить количественные модели, позволяющие получить наблюдаемые следствия. Возникает естественный вопрос достаточен ли разработанный математический аппарат для изучения биологических явлений? Конечно, нет. Под влиянием биологии математика будет вынуждена совершенствовать свою структуру, и создавать новые методы исследования, а также оттачивать ранее созданные понятия. Приближается время, когда мы сможем сказать, что математика в биологии является не просто орудием расчета; вне математики невозможно достаточно полное понимание особенностей протекания биологических процессов, как внутри отдельной клетки, так и внутри коллективов живых существ. Но, чтобы можно было так сказать, требуется еще длительная, упорная, и многосторонняя совместная работа математиков и биологов.
Теория надежности вызвана к жизни техническим прогрессом, и появлением устройств, на которые возлагаются все более и более ответственные, и сложные функции. Отказ устройства или технической системы может повлечь за собой не только материальные потери, но и гибель людей. Возникает настойчивая необходимость научиться своевременно предсказывать поведение системы, способность безотказно проработать необходимое время. Существующие сейчас методы не дают этой возможности. Необходимо построение физико-химико-математических теорий поведения вещества, которые позволили бы осуществлять такой прогноз. Другая важная задача современной теории надежности состоит в следующем существуют устройства, и элементы, к безотказности работы которых предъявляются исключительно высокие требования. Разработанные методы проверки не позволяют за обозримый срок произвести достаточно обширные и всесторонние наблюдения, а, следовательно, сделать достоверные выводы. Создается, казалось бы, неразрешимая ситуация нам немедленно нужны сверхнадежные изделия, а проверку мы в состоянии завершить лишь тогда, когда надобность в них отпадет, поскольку морально они безнадежно устареют. Чтобы найти выход из создавшегося положения, необходимо глубокое изучение поведения материалов в различных условиях эксплуатации, и построение соответствующих количественных теорий.
Знание законов природы дает не только удовлетворение, но и возможность управлять ходом событий, выбирать, и добиваться достижения поставленных целей оптимальным путем. Создание математической теории старения вещества в работе радиоэлектронных схем может привести к открытию способа восстановления свойств изделий путем «омоложения»
Точно так же человечество научится лечить болезни посредством направленного влияния на те или иные управляющие центры. В частности, психические заболевания требуют длительного и глубокого изучения в этом плане. Сейчас многие крупные врачи считают, что психические заболевания, как, впрочем, и ряд других, зачастую являются следствием нарушения управления нервными центрами. При этих исходных положениях можно предполагать, что лечение болезни должно состоять в восстановлении свойств нарушенного управления. Для этого важно прогнозировать не только направление необходимого воздействия, но и его силу. Несомненно, что для осуществления подобных или даже более простых мечтаний потребуется напряженная исследовательская работа, в том числе, и по совершенствованию самой математики.
С проникновением в закономерности высшей нервной деятельности отдельного человека и коллектива людей удастся более рационально строить педагогический процесс. Нет сомнения, что сейчас при обучении используется лишь незначительная доля возможностей учащихся, в частности их память. Ее недостаточно нагружают в тот момент, когда она с легкостью удерживает сообщаемые сведения, и пытаются нагружать чрезмерно, когда она уже потеряла свою активную способность, не получив своевременно необходимой тренировки. Известно, что язык, изученный в раннем детстве, запоминается на всю жизнь и впоследствии оказывает неоценимые услуги при изучении других языков (и только ли языков?). Мы же сейчас относим овладение языками на слишком поздние сроки, когда психика сопротивляется чисто механическому усвоению, а голосовые связки теряют свойство легкой аккомодации.
Необходим хорошо поставленный педагогический эксперимент очень широкого характера, который позволил бы определить, что, и в, каком порядке целесообразнее всего изучать. Но эксперимент мало провести, из него необходимо еще извлечь обоснованные выводы. Это невозможно сделать без математической статистики. Дальше, эксперимент, в котором играют роль столь различные обстоятельства и в столь большом числе, что все их даже невозможно учесть, необходимо предварительно спланировать, и на каждом этапе проводить с учетом уже полученных результатов. Мы вновь сталкиваемся с задачей привлечения методов математической статистики.
Сейчас все чаще и больше говорят с необходимости изучения больших систем, и о разработке для них специфического математического аппарата. Несомненно, что большие системы, состоящие из весьма значительного числа элементов, ограниченные огромным числом связей, развиваются по своим особым законам, которые невозможно свести к законам, управляющим отдельными элементами. К таким большим системам следует отнести экономику страны, транспорт большого города, крупный завод, систему здравоохранения или просвещения, организм отдельного человека. В зависимости от поставленных целей приходится рассматривать крупный завод или в качестве простого элемента в системе - отрасли промышленности, или же, как самостоятельную большую систему.
Изучение больших систем, создание точных методов анализа их развития и методов управления ими нужно признать одной из наиболее актуальных проблем нашего времени. По-видимому, для исследования таких систем будут разработаны и новые методы, и новые научные дисциплины. Однако немалую роль при этом будет играть уже созданный запас математических знаний, и направлений мысли.
Прежде чем говорить о математических средствах, которые уже можно использовать при изучении больших систем, рассмотрим в качестве примера одну из таких систем. Пусть нас интересует система организации перевозок грузов морскими судами. Почему эту систему следует считать большой? Да потому, что в ней участвует огромное число факторов суда, причалы, портовые погрузочно-разгрузочные средства, склады, подъездные пути, бригады грузчиков, диспетчерская служба, портовый транспорт и т. д. Все они оказывают существенное влияние на взаимодействие системы. Прибытие судов в порт решающе влияет на образование очереди. От числа причалов, мощности погрузочно-разгрузочных средств, дисциплины, и слаженности бригад грузчиков, количества и успешности работы портового транспорта зависит скорость обработки судов, а тем самым - величина очереди судов на обработку, расходы порта, и пароходства. От того, как расположены склады, как организована поставка грузов и насколько удачно они размещаются на складах, зависит успех работы порта.
Управление системой организации перевозок может преследовать различные цели. Например, требовать, чтобы при заданном грузообороте суммарные расходы на содержание портов, и на простои судов в портах достигали минимума либо, чтобы простои судов в портах были сведены к минимуму.
Могут быть предложены и иные цели. Но независимо от того, какая поставлена задача, нельзя управлять лишь на основе личного убеждения или же качественных соображений типа «так будет лучше», «а почему бы не попробовать так» Необходимо иметь точные знания закономерностей прибытия судов, длительности их обработки в порту, влияния числа механизмов на скорость обработки судов. А для этого надо использовать средства математической статистики.
После того, как тщательным статистическим анализом установлены исходные распределения, наступает пора применения методов теории массового обслуживания. Эта теория дает возможность выявить влияние многих факторов (интенсивности потока судов, скорости обработки, числа причалов) на образование очереди судов. Дальше нужно выяснить, как следует вмешиваться в формирование потока судов, направляя их в зависимости от нагрузки порта в тот или другой из близко расположенных портов; как изменять интенсивность работы кранов, и других погрузочно-разгрузочных средств; как рациональнее поступать с железнодорожными составами; заставлять ли их немного подождать и производить погрузку в суда непосредственно из вагонов (и тем самым избегать лишних погрузочно-разгрузочных работ), или же производить предварительную разгрузку на склады, и на причал? Здесь необходимо использовать методы теории оптимального управления.
Задача расположения складов на территории порта приводит к вопросам типа линейного программирования. Аналитическое решение задач, связанных с управлением портом или же с управлением грузоперевозками, должно учитывать такое множество связей (в том числе с поставщиками и получателями грузов, автомобильным, и железнодорожным транспортом), что его невозможно получить в виде обозримых аналитических формул. Приходится идти по пути моделирования. Для этого необходимо предварительное изучение логической структуры процесса и составление его модели с последующим проигрыванием на электронной вычислительной машине.
Мы видим, что даже при самом беглом анализе работы большой транспортной системы необходимо воспользоваться разнообразными методами, разрабатываемыми рядом направлений математической мысли. Подобная же картина открылась бы перед нами, и при рассмотрении других больших систем. Поскольку современная техника в своих основах опирается на физику и химию й к большим системам нужно относить не только системы, созданные человеком, то запас математических знаний, к которым вынуждена будет обращаться будущая теория больших систем, должен быть значительно расширен - понадобится не только теория вероятностей, математическая логика, теория информации, теория оптимальных методов управления, математическая статистика, но, и весь математический анализ, функциональный анализ, теория функций комплексного переменного, современная алгебра, в особенности теория групп. Мы вновь приходим к мысли, что в наше время вся математика может быть прикладной.
НА ГЛАВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
Мы подходим к центральному вопросу статьи, какие же области математики в ближайшее время будут особенно существенны для практики, для естествознания и других наук? Накопленный опыт позволяет считать, что имеется несколько таких направлений математической мысли.
Математическая логика непосредственно, и через вычислительную технику начинает занимать в прикладных вопросах весьма заметное место. Алгоритмизация процессов, составление программ, четкое логическое мышление превращаются в систематическое орудие прикладной деятельности. Несомненно, что их значение со временем будет возрастать, поскольку все большее число процессов потребует сложного и дорогого экспериментального изучения, логического анализа, проигрывания на электронных вычислительных машинах.
Хорошей иллюстрацией к этому положению может служить беседа, которая недавно состоялась у меня с одним опытным, и талантливым инженером. С большим подъемом он рассказывал, что в силу благоприятно сложившихся обстоятельств удалось экспериментировать в натурных условиях по производству крупных изделий и по отладке технологического процесса. Меня заинтересовали три вопроса, какие выводы удалось сделать из проведенных экспериментов; как долго продолжались опыты; какова цена часа эксперимента? Оказалось, что эксперимент продолжался уже несколько месяцев, и каждый час экспериментирования обходится в значительную сумму. На основной же вопрос последовал такой ответ «Неужто вы не знаете, как трудно получить заслуживающие внимания выводы? Сейчас мы только подходим к пониманию того, как следует ставить эксперимент» Интересно отметить, что примерно за три-четыре года перед этим для близкого технологического процесса была составлена логико-математическая модель, проиграна на электронной вычислительной машине и на базе этой работы получены выводы по более чем тридцати вопросам, интересовавшим конструкторов.
Такого рода модели, конечно, не отменяют необходимости в серьезных экспериментах, но позволяют заранее нащупать наиболее «слабые» места в процессе; наметить то, что особенно существенно подвергнуть тщательному наблюдению. К сожалению, в настоящее время еще часто представляют себе, что большое число наблюдений может возместить отсутствие идей, отчетливых представлений о течении процесса, о характерных для него связях.
Составление моделей, мало-мальски отражающих природу вещей, потребует широкого использования теории вероятностей, в том числе теории случайных процессов, и случайных полей. Рассмотрим для примера процесс потребления электрической мощности, каким-нибудь участком или цехом промышленного предприятия. Многочисленные наблюдения, проведенные на химических, металлообрабатывающих, текстильных предприятиях, в шахтах и на нефтепромыслах, приводят к весьма близким выводам если построить график потребляемой мощности, а затем повторять наблюдения, казалось бы, в идентичных условиях, то оказывается, что общий вид графика сохраняется, но значения ординат изменяются. Причин для такой изменчивости много колебания силы, и напряжения тока в цепи, длительности рабочего периода и холостого хода, некоторая нестабильность свойств обрабатываемых материалов, а также состояния обрабатывающего инструмента, и т. д. Все эти изменения невозможно предусмотреть они носят случайный характер и оказывают решающее влияние на величину потребляемой мощности. При построении теории расчета фидеров (линий электропитания) промышленных предприятий надо учитывать, что потребляемая мощность представляет собой случайный процесс.
Мы уже видели, что без математической статистики невозможна не только оценка неизвестных характеристик тех процессов, с которыми приходится иметь дело, но, и разработка планов испытаний, установление зависимостей между различными величинами и процессами, оценка качества продукции, сравнение качества технологических процессов, и многое другое. Несомненно, что в ближайшие годы методы математической статистики получат еще большее развитие. Много новых задач выдвинула перед математической статистикой теория надежности.
Вопросы распознавания образов возникают сейчас во многих областях знания. Диагноз заболевания, создание читающего автомата, прогноз отказов - все это различные проявления одной и той же задачи распознавания. В наши дни она становится весьма актуальной, и требует, как разработки специфических математических методов, так и построения теории. Сейчас предложены многие подходы к ее решению, использующие идеи топологии, функционального анализа, статистики.
При тех грандиозных темпах роста промышленного производства, которые сейчас наблюдаются, естественные ресурсы быстро иссякают. На наших глазах исчезают горы, еще недавно содержавшие, казалось бы, неисчерпаемые запасы полезных ископаемых. Считалось, что на земном шаре имеются неиссякаемые резервы воды, но уже теперь во многих странах ощущается водный голод. Становится очевидным, что больше нельзя относиться к сырью, и другим материальным ресурсам с бездумной расточительностью. Необходимо переходить к их оптимальному использованию. Но для этого нужно своевременно решать задачи оптимизации. Линейное программирование является прототипом тех методов, которые должны найти самое широкое использование в практике.
Идея оптимального управления, вызванная к жизни многими насущными проблемами практики, нашла свое воплощение в кибернетике. Как управлять тем или иным процессом, чтобы в кратчайшее время или же с минимальной затратой тех или иных ресурсов добиться поставленной цели? Математическая теория оптимального управления в разных аспектах получила в наши дни значительное развитие. Будущее приведет к тому, что идеи оптимального управления процессами развития станут характерны для всех областей деятельности, будут руководящими в медицине и в биологии, экономике, и педагогике. Уже сейчас имеются работы, в которых удалось получить полезные результаты относительно управления внутриклеточным развитием. Но оптимальное управление необходимо предполагает, что своевременно поступает информация о состоянии управляемого объекта или процесса. Таким образом, в число математических дисциплин, получивших особенное значение для прогресса, практики, входит и теория информации. Поскольку многие важнейшие для практики процессы являются случайными, задача оптимального управления случайными процессами должна быть признана одной из наиболее актуальных.
УСТАРЕВШИЕ ТРАДИЦИИ
Чему учить, и, как учить - вопросы, которые никогда не потеряют своей актуальности. Их решение невозможно дать раз и навсегда, поскольку оно зависит, как от задач, выдвигаемых перед образованием развитием общества, тех актуальных практических проблем, которые надлежит решать в ближайшем будущем, так, и от состояния науки и перспектив ее развития. В огромной степени решение этого вопроса зависит, и от педагогических традиций, от некоторой предвзятости отношений педагога к новому и дорогому его сердцу старому. Сейчас исключительно важно тщательно взвесить ценность старых подходов к математическому просвещению, и наметить новые его идеалы, исходя из потребностей будущего.
Возьмем обычные учебники по математике, предназначенные для учащихся средней школы или для студентов высших учебных заведений - биологов, экономистов, химиков. По ним невозможно установить, что над миром пронеслась настоящая научная революция, изменившая содержание математики, ее роль и место в процессе исследования, и в повседневной практической деятельности. Математические методы буквально врываются во все области жизни и становятся не только средством расчета, но, и мощным орудием исследования, зачастую предваряющим эксперимент. А современный молодой человек остается примерно на том же уровне математического развития, на, каком сама математика находилась в лучшем случае сто лет назад. Сегодняшний студент уже завтра должен содействовать прогрессу естествознания, техники, экономики. Это значит проникать в тайны мышления, завоевывать космическое пространство и микромир, оптимизировать технологические процессы, искать наиболее эффективные методы медицинской диагностики, и лечения болезней. Методы же, которые могут помочь ему проникнуть е количественные закономерности окружающего его мира, находятся от него за семью печатями.
Несомненно, что классическая математика, включая начала математического анализа и аналитическую геометрию, является основой современной математики, и многих ее применений. Владеть этим начальным аппаратом нужно, но этого уже недостаточно. Перефразируя известные слова первого энтузиаста и теоретика космонавтики К. Э. Циолковского, можно сказать, что традиционная школьная математика, и основы математического анализа являются колыбелью современной науки. Но до, каких пор можно держать будущих биологов, медиков, инженеров и экономистов в колыбели?
Традиционное содержание школьного, и вузовского образования сложилось в ту пору, когда господствовали строго детерминистические представления о законах природы. Жизнь оставила эту концепцию далеко позади, и статистические представления глубоко проникли* в современную науку, и практическую деятельность. Но они не находят, или почти не находят, места в математическом образовании. Статистический образ мышления, столь важный в любой практической и научной деятельности, должен воспитываться во всех высших учебных заведениях; более того, он должен систематически прививаться учащимся на школьных уроках с шестого - седьмого года обучения.
Второй аспект математического обучения самого широкого круга лиц должен касаться идей вычислительной математики, и возможностей моделирования сложных процессов на электронных вычислительных машинах. Программирование для электронных вычислительных машин, доведение результатов до числа, таблицы и графика должны стать правилом. Привычку к логическому анализу процессов, и составление формализованной схемы их протекания нужно воспитывать неуклонно.
Идеи и методы оптимизации в наши дни не могут оставаться в стороне. Без них математическое образование будет неполноценным, и не сможет удовлетворить минимальных запросов практической жизни.
Математизация знаний находится на подъеме. Это одна из характерных черт нашей эпохи, от которой не откажется и будущее. Дальнейший прогресс все больше будет зависеть от того, как много исследователей, и практических работников получат привычку и навык к «математическому стилю мышления», как быстро, и основательно будет перестроено математическое образование на базе учета основных потребностей настоящего и ближайшего будущего.
Прогресс человеческих знаний не имеет предела; не имеет предела, и возможность математического анализа явлений природы, процессов техники, экономики и общественной жизни.
