Наверное, каждому в детстве приходилось рисовать пятиконечную звезду пятью прямыми линиями.
(Иллюстрация 1)
Вообще же на плоскости можно провести несколько прямых, которые, пересекаясь между собой, образуют несколько не перекрывающих одна другую пятиконечных звезд. Например, на приведенных рисунках нарисованы с помощью девяти прямых три звезды
(Иллюстрация 2)
и шесть звезд с помощью 15 прямых.
(Иллюстрация 3)
На каждом из этих рисунков количество прямых превосходит количество звезд. Возникает естественный вопрос: может ли число таких звезд оказаться больше числа прямых? Попытаемся разобраться.
Отметим на плоскости узлы квадратной решетки 1x1, расположенные в форме квадрата со стороной 2k.
(Иллюстрация 4)
В квадратах 2x2 нарисуем равные звезды, вершины которых лежат в отмеченных точках. Очевидно, что таких звезд k2.
Здесь, чтобы не загромождать рисунок, сами прямые не нарисованы, но понятно, что они определяются сторонами звезд. Подсчитаем число прямых, на которых лежат стороны всех этих звезд. Для этого все прямые разобьем на пять непересекающихся классов (рисунок внизу). В каждый класс включены только параллельные прямые. Посчитав и сложив число прямых в каждом классе, получим их общее число:
k + k + (2k - 1) + (3k - 2) + (3k - 2) = = 10k - 5.
Любая квадратичная функция возрастает сильнее линейной, поэтому при увеличении числа k (то есть числа звезд на стороне квадрата) наступит такой момент, когда число звезд станет больше числа прямых, с помощью которых они нарисованы.
Чтобы выяснить, при каких значениях k это произойдет, нужно решить квадратное неравенство: k2 ≥ 10k - 5. Те же, кто далек от школьной математики, могут методом проб выяснить, что в приведенном квадратном созвездии уже при k = 10 число звезд больше числа прямых. Например, 100 звезд будут построены с помощью 95 прямых.
Если в таком "звездном" квадрате, содержащем 100 звезд, удалить пять внутренних, окажется, что 95 звезд нарисованы с помощью 95 прямых.
Можно придумать более экономную конфигурацию, в которой 57 звезд нарисованы 57-ю прямыми (для красоты они не изображены).
(Иллюстрация 5)
Вопрос для любителей и знатоков: существует ли конфигурация, в которой число звезд совпадает с числом прямых и это число меньше 57?
