Николай Кузанский. "Игра в шар".
С удовольствием прочитал заметку профессора В. Горобца (см. "Наука и жизнь" № 1, 2000 г.) о занимательной игре-головоломке, придуманной в свое время академиком JI. Д. Ландау. Напомню вкратце суть игры: требуется с помощью знаков арифметических действий и символов элементарных функций (т. е. +, -, ·, :, , sin, cos, arcsin, arctg, lg, ...) привести к одному и тому же значению два произвольных двузначных числа. При этом допускается использование факториала (n! = 1·2· ... ·n), но не допускается использование секанса, косеканса и дифференцирования.
Например, если наудачу выбрана пара чисел 32-88 (во времена Ландау в качестве случайного датчика таких пар чисел выступали четырехзначные номера проносящихся мимо машин), то искомое равенство достигается следующим образом:
#1#
(или менее вычурно: 3 - 2 = 8 : 8).
Однако не все номера "решаются" так просто. В процитированной заметке автор указывает даже несколько и вовсе "неподдающихся" номеров: 59-58, 47-43, 47- 97, 27-37 и 75-65 (этот номер якобы не удавалось "решить" и самому Ландау). Попутно предлагается найти какой-либо универсальный подход, единую формулу, позволяющую "решать" любую пару номеров. В заметке даже приводилась одна такая формула: #2#
позволяющая в результате неоднократного применения выразить любую цифру через любую меньшую. Однако в этой формуле используется "запрещенный" секанс (он не входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной.
Мне удалось найти общий метод "решения" любого номера, не выходя за рамки, очерченные в начале этой заметки. Для этого воспользуемся тождествами: #3#
Они получаются из равенств: #4# #5#
Решая систему из двух последних уравнений, получим искомое тождество.
Обозначив левые части этих равенств соответственно через f1(х) и f2(х), а композицию этих функций f1(f2 (х)) через f (х), получим:
#6#
откуда окончательно
#7#
Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау-Горобца. Возьмем, к примеру, один из "неподдающихся" номеров: 59-58. Тогда решение будет таким: #8#
Разумеется, приведенный универсальный метод не единственный - можно было бы придумать еще несколько подобных. Однако все они так или иначе используют тригонометрические тождества. Поэтому интересно, усложняя задачу, попытаться найти общее "решение" игры, не используя тригонометрию.
Предлагаю одну из возможностей. Коль скоро разрешается пользоваться факториалом, то почему бы не воспользоваться знаками [] и {} соответственно целой и дробной части числа (как и факториал, они не входят в программу обычных школ, но широко применяются в элементарной математике и, как правило, их проходят в "продвинутых" классах и школах). Напомню, что [х] - это наибольшее целое число, не превосходящее х (например, [4,32] = 4, [-2,8] = -3 и т. д.), а {х} = х -[х] (так, {1,2} = 0,2, {-0,6} = 0,4).
Введение только этих функций сразу дает несколько тривиальных решений нашей задачи. Например, достаточно взять дробную часть от обоих двузначных чисел и в результате получить в обоих случаях ноль.
А ведь можно еще использовать известные со школьной скамьи знаки модуля, длины вектора
(скажем, #9#
и так далее.
