1. 2007 ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Проведите на плоскости несколько отрезков, чтобы образовалось 2007 различных треугольников.
Пример 1: 10 отрезков образуют 35 различных треугольников.
Пример 2: 2009 отрезков образуют 2007 треугольников.
Ваша задача - обойтись минимальным количеством отрезков.
Оценка: 50 баллов за лучшее решение, 45 - на один отрезок больше и т.д. Если на рисунке не 2007 треугольников, результат не засчитывается.
2. 2007 ПУТЕЙ
В любом прямоугольнике на клетчатой сетке рассмотрим все пути, которые идут из левого верхнего угла в правый нижний. Двигаться разрешается только вправо и вниз по сторонам клеток. Отметим некоторые узлы сетки - через них путь проходить не может.
Пример: из левого верхнего угла сетки 2x3 в правый нижний ведут четыре пути. Если бы не было отмеченного узла, то общее количество путей было бы равно 10.
Убедитесь, что в квадрате 9x9 можно провести 48 620 таких путей. Ваша задача - отметить несколько узлов, чтобы число путей было 2007.
Оценка: 40 баллов за любое решение, 50 - если к тому же будет наименьшее количество отмеченных узлов.
3. ПЕНТАПАРКЕТ
Пентатреугольники - это набор из двадцати пятиугольников, каждый из которых разбит на пять треугольников. Некоторые треугольники - черные, а некоторые - белые. При этом использованы все возможные сочетания черного и белого цветов. Разместите элементы в приведенной форме; каждый элемент можно переворачивать или поворачивать на 180 градусов.
Задание состоит из двух пунктов, которые выполняются независимо:
А. Добейтесь, чтобы было как можно больше изолированных одна от другой черных областей.
Б. Добейтесь, чтобы одна из черных областей имела максимально возможную площадь. Площадь - это число треугольников, из которых состоит фигура.
Пример:
В приведенном примере образовалось 17 черных областей. Площадь наибольшей области - 9. Сумма по обоим пунктам - 26.
Оценка: 50 баллов за наибольшую сумму по обоим пунктам, 45 - за следующую и т.д.
4. РАЗБИЕНИЕ КВАДРАТА
Квадрат 5x5 расположен в клетчатой плоскости:
Проведите несколько отрезков с концами на границе квадрата в узлах сетки, чтобы квадрат разбился на максимальное количество частей, причем все они должны быть разной площади.
Пример: три отрезка разбивают квадрат 4x4 на шесть частей, все части различной площади:
Оценка: 50 баллов за лучшее решение, 45 - за следующее и т. д.
5. КОЛЬЦО ПЕНТАМИНО
Кольцо пентамино - это такое расположение двенадцати элементов на плоскости, когда каждый имеет общую границу только с двумя соседними, а остальных элементов не касается даже углом.
Элементы могут быть повернуты и перевернуты.
Составьте кольцо пентамино, в котором сумма длин границ между элементами была бы наибольшей. В нашем примере сумма длин общих границ (эти отрезки выделены жирно) равна 30.
Оценка: 50 баллов за лучшее решение, 45 - за следующее и т. д.
