Доверительные оценки параметров нормального распределения

Номинация: Cамая актуальная работа
Просмотреть картинки списком
Автор: Репа Александр Александрович. Наставник: Кузьмина Ирина Викторовна
Город: Томск
Место учебы: ОГБОУ СПО "Томский промышленно - гуманитарный колледж"

В работе приведены теоретические положения расчёта доверительных интервалов неизвестных параметров математического ожидания и среднего квадратического отклонения для выборочных данных, разработанная программа на языке программирования Турбо Паскаль, обоснование выбранного языка программирования и результаты расчётов доверительных интервалов оценки содержания цинка в в снежном покрове в двух районах г. Томска.

Целью данной работы являлось создание программы на языке программирования Турбо-Паскаль для оценки неизвестных параметров распределения a и σ: построение доверительных интервалов со случайными границами, каждый из которых накрывает истинное значение a и σ с заданной доверительной вероятностью (надёжностью) P =1-α, где α>0 (уровень значимости).

Результаты измерений, как правило, дают не точное, а лишь приближённые значения измеряемой величины. И чем большее число знаков удаётся снять с показаний приборов, тем нагляднее выступают различия между результатами измерений. По этим различным результатам судят об истинном значении a измеряемой величины и производят оценки этого истинного значения. Многие методы обработки результатов измерений допускают, что результат измерения есть случайная величина. Поэтому при обработке данных рассматривают закон распределения не для самих результатов измерений, а для ошибок измерений. Под ошибкой измерения понимают разность x-a между результатом измерения x и истинным значением a измеряемой величины (при условии, что рассматриваемые результаты измерений свободны от так называемых систематических ошибок). При любом уровне техники измерений всегда остаются неизбежные, неустранимые ошибки – случайные ошибки измерений. Эти ошибки вызываются многочисленными, трудно выявляемыми причинами, каждая из которых приводит к незначительному разбросу результатов измерений.

Для многих видов измерений реально наблюдаемая ошибка измерения более или менее точно следует нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому при математической обработке результатов прямых измерений считают, что случайная ошибка измерения следует нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a и σ (величина σ характеризует точность измерений).

Приведённые доверительные оценки параметров a и σ нормального распределения применяются при обработке результатов измерений следующим образом. Если можно считать, что результаты измерений распределены нормально с математическим ожиданием, равным истинному значению a измеряемой величины, то оценка этого истинного значения определяется формулой (4), в которой через X1, X2,...,Xn, обозначены результаты n независимых измерений. При этих условиях формула (3) даёт оценку точности измерений – то есть оценку средней квадратической ошибки σ.

ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Алгоритмический язык программирования Паскаль, названный в честь французского математика и философа Блеза Паскаля (1623-1662), был создан как учебный язык программирования в 1968-71 годах швейцарским ученым Никлаусом Виртом на кафедре информатики Стэнфордского университета (Цюрих). В настоящее время этот язык программирования имеет более широкую сферу применения, чем предусматривалось при его создании. Свое признание язык программирования Паскаль получил с появлением пакетов Турбо Паскаль (Turbo Pascal) и Borland Pascal. Этот язык программирования отличается простотой понимания, стройностью и структурностью алгоритмов, быстротой компилятора и удобными средствами создания и отладки программ.

Достоинствами языка программирования Паскаль являются:

1. Простой синтаксис языка. Небольшое число базовых понятий. Программы на Паскале достаточно легко читаемы.

2. Достаточно низкие аппаратные и системные требования как самого компилятора, так и программ, написанных на Паскале.

3. Универсальность языка. Язык Паскаль применим для решения практически всех задач программирования.

4. Поддержка структурного программирования, программирования "сверху-вниз", а также объектно-ориентированного программирования.

Кроме того, владение данным языком программирования актуально, так как своё дальнейшее развитие Паскаль получил в языке программирования высокого уровня Delphi - системе разработки программ для Windows.

В рамках студенческой исследовательской работы для оценки неизвестных параметров доверительных интервалов a и σ была создана программа на языке программирования Турбо-Паскаль (Приложение 3). Данная программа позволяет определять верхнюю и нижнюю границы доверительных интервалов для параметров a и σ. При разработке программы были использованы следующие возможности языка программирования Турбо Паскаль:

1. ввод данных результатов измерений обрабатываемых данных, а также таблиц значений для t-распределения Стьюдента и коэффициентов доверительных границ среднего квадратического отклонения из внешних файлов;

2. процедуры, реализующие линейную интерполяцию для расчётов коэффициентов t, Zн, Zв.;

3. программа работает в диалоговом режиме: по запросу пользователь вводит значение уровня значимости (0,95 или 0,99) и по завершении вычислений на экран выводятся полученные по исходным данным доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

В Томском государственном промышленно-гуманитарном колледже в лаборатории «Химического анализа», в рамках исследовательской работы и на лабораторно-практических занятиях по дисциплинам «Физико-химические методы анализа» и «Аналитическая химия», студентами специальности «Аналитический контроль качества химических соединений» проводятся работы по оценке загрязнения территории г. Томска тяжелыми металлами.

При тестировании разработанной программы в качестве исследуемых были взяты, полученные экспериментальным путём, данные концентрации цинка в пробах снегового покрова в двух районах г. Томска.

(см. таблицу 1).

Полученный доверительный интервал для параметра a с надёжностью P=0,99 величины концентрации цинка в пробах снежного покрова в районе 4-ой поликлиники г. Томска:

0.891716437726592<a<0.924463562273408.

Полученный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ с надёжностью P=0,99, который характеризует оценку точности измерений, в районе 4-ой поликлиники г. Томска равен:

0.0179639375086984<σ< 0.0427347231332284.

Полученные в результате выполнения программы доверительные интервалы показывают, что истинное значение концентрации цинка в снежном покрове в районе 4-ой поликлиники г. Томска отличается от рассчитанной средней на Δ= |0,0164|, а оценка точности измерений составляет Δ= |0,017|. Для получения приемлемой доверительной оценки параметров надо произвести большее число измерений.

(см. таблицу 2).

Полученный доверительный интервал для параметра a с надёжностью P=0,99 величины концентрации цинка в пробах снежного покрова в районе Лагерного сада г. Томска: 0.00761588379780524
Полученный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ с надёжностью P=0,99, который характеризует оценку точности измерений, в районе Лагерного сада г. Томска, равен:

4.56584122069872E-05<σ< 0.000108617590292975

Полученные в результате выполнения программы доверительные интервалы показывают, что истинное значение концентрации цинка в снежном покрове в районе Лагерного сада г. Томска отличается от рассчитанной средней на Δ= |4*10^-5|, а оценка точности измерений составляет Δ= |4*10-5|, а это позволяет сделать вывод, что с вероятностью 0,99 данные концентрации цинка в районе Лагерного сада являются достоверными.