Математическая физика против пробок на дорогах
Сотрудники Физического института им. П.Н. Лебедева РАН в сотрудничестве с Институтом теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН получили новые результаты в области математической физики под названием "логарифмическая конформная теория поля". Эти результаты позволяют строить довольно точные модели таких явлений как сход лавины, лесные пожары или дорожные пробки.
Представим себе решетку из линий на плоскости – как на тетрадном листе в клеточку, только очень большом. И пусть эти линии – на самом деле трубки, по которым может течь вода. С одной стороны этой системы трубок стоит бак с водой, а на каждой такой линии есть краники, и эти краники случайным образом с некоторой вероятностью открыты или закрыты. В этом случае возникают следующие вопросы. Как в зависимости от величины этой вероятности понять, будет ли вода вытекать с другой стороны? Через сколько в среднем потоков вода прольется? Сколько будет мест протекания? Если протекло здесь, то какова вероятность того, что протекло там? Похожие вопросы возникают и в случае дорожных пробок.
Сотрудники ФИАНа выяснили, что целый класс систем такого рода имеет внутри себя скрытую симметрию, – говорит ведущий научный сотрудник ФИАН доктор физико-математических наук Алексей Семихатов. – Увидеть эту симметрию "невооруженным глазом" практически невозможно, но она просматривается математически и описывается в терминах объектов, называемых "квантовыми группами". …"Возбуждения" в этих системах, оказывается, можно представлять себе как некоторые "квазичастицы", подчиняющиеся так называемой дробной статистике".
Наука об изучении классов критических явлений такими методами имеет приложения в разных областях, прежде всего в физике. Среди перспективных практических приложений – расчет развития снежной лавины и определение условий ее возникновения.
"Мы имеем дело с системами, пространственно разделенные части которых подозревают о существовании друг друга. Другое название этого явления – самоорганизующаяся критичность, то есть способность системы, развивающейся с какого-то конкретно взятого состояния, переводить себя в состояние с "дальним порядком", когда, например, мы бросили песчинку или снежинку в одном месте, а лавина пошла целиком", – рассказывает Алексей Семихатов. (Тут вспоминается фильм французского режиссера Дорана Фирода «Взмах крыльев мотылька»).
Обычно, физики для описания тех или иных явлений природы используют существующие разделы математики, готовые к применению. Здесь же физикам пришлось в математику внести заметный вклад, а именно в теорию квантовых групп, которую математики с большим интересом развивали последние два десятилетия. Однако в довольно исхоженной части "математического леса" математики не заметили ценного камушка – структуры указанного вида, весьма просто связываемой с каждой квантовой группой. Именно квантовые группы могут помочь разобраться в том, как функционируют самоорганизующиеся системы.
"Квантовые группы – это набор таких "существ", которые живут своей жизнью и умеют разумно действовать на некоторых объектах, например, переставлять какие-то точки, заплетать косы или запутывать узлы. Представим себе, что мы берем очень длинную леску и сильно ее запутываем, а потом приглашаем кого-то, чтобы он сказал, что у нас получилось – узел или все-таки не узел. Понятно, что математически дать ответ на этот вопрос очень непросто. Но сама-то леска прекрасно знает, развяжется она или нет, если потянуть за концы. Человек же, пытающийся это выяснить, начнет что-то перетягивать, что-то втягивать, то есть одну часть отчасти распутает, другую – запутает. Исходный узел, и узел после "обработки", будут запутаны совершенно по-разному. Поэтому с узлом должен быть связан какой-то математический объект, нечувствительный к "попыткам распутывания", и если для двух узлов два таких объекта не совпадают, то никакими перетягиваниями превратить один узел в другой нельзя", – объясняет Семихатов.
А.М. Семихатов надеется, что когда-нибудь с помощью квантовых групп можно будет классифицировать все мыслимые классы самоорганизующихся критичностей.
