Проценты простые и сложные. Уроки арифметики в классической литературе

Знаете ли вы, что многие известные литературные герои были неплохими финансистами? Одним персонажам приходилось самим производить денежные расчёты, связанные с покупкой или продажей товара, другим — с дележом прибыли и т.п. Но особенно часто они почему-то решали задачи «на проценты», которые ничуть не утратили своей актуальности.

ЗАДАЧА ИУДУШКИ ГОЛОВЛЁВА

В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы» в одной из сцен читаем: «Седьмой час вечера. Порфирий Владимирыч… сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой Петром Иванычем, на зубок, сто рублей ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей ассигнациями. “Положим, что капитал и небольшой, — праздномыслит Иудушка, — а всё-таки хорошо, когда знаешь, что про чёрный день есть… Ах, маменька! маменька! и как это вы, друг мой, так, очертя голову, действовали!”»

Так сокрушался Иудушка Головлёв о не доставшихся ему деньгах. Но если Иудушку волновал возможный доход, то нам интересно знать, исходя из какого процента делался расчёт? Иначе говоря, под какой процент годовых надо было маменьке Арине Петровне положить сторублёвый вклад, чтобы через n лет он увеличился в восемь раз? (Для определённости будем считать, что Порфирию Владимировичу 50 лет.)

Для начала разберёмся, о каких именно процентах идёт речь?

Как известно, в зависимости от способа начисления проценты бывают двух видов: простые и сложные. Напомним, в чём главное различие между ними. Всякий раз по истечении установленного срока хранения (например, одного года) простые проценты начисляются лишь на исходную сумму, а сложные — на наращенный капитал, то есть не только на основную сумму, но и на полагающиеся с неё проценты за предыдущие периоды времени.

Как же производятся расчёты? Если a  — сумма вклада, p — фиксированный процент годовых, a_n — сумма вклада через n лет, то при начислении простых процентов пользуются формулой a_n = a(1 + 0,01pn), а при начислении сложных — формулой a_n = a(1 + 0,01p)ⁿ. Каждое соотношение связывает между собой четыре величины, любую из которых можно найти, если известны три остальные.

На вклады с длительными сроками хранения банки обычно устанавливают сложные проценты. Вот и ломбард, взяв на хранение деньги (а во времена описанных в романе событий он выполнял эту функцию банка), должен был начислять на них сложные проценты. Итак, согласно условию задачи a = 100 рублей, n = 50 и a₅₀ = 800 рублей. Процент годовых найдём из уравнения 100×(1 + 0,01p)⁵⁰ = 800. Получим p ≈ 4,25%. Прямо скажем, не так уж и много, даже по нынешним меркам!

ИСТОРИЯ СТРЯПЧЕГО ДЕРВИЛЯ

Куда бо́льшие проценты всегда брали за кредит. И не только банки. Немалые состояния наживали ростовщики, одалживая деньги другим. Вспомним новеллу Оноре де Бальзака «Гобсек». Одному из её героев, стряпчему Дервилю, однажды пришлось просить у старика-ростовщика немалую сумму, чтобы выкупить дело у своего разорившегося патрона. «Если бы вы согласились ссудить мне сто пятьдесят тысяч (франков. — Прим. авт.), необходимых для покупки конторы, я в десять лет расплатился бы с вами», — обратился он к Гобсеку. «Ну что ж, давайте торговаться, — сказал тот. — Я беру за кредит по-разному, самое меньшее — пятьдесят процентов, сто, двести, а когда и пятьсот. Ну, а с вас по знакомству я возьму только двенадцать с половиной процентов… Нет, не так, — с вас я возьму тринадцать процентов в год». Но потом передумал и, пообещав снабжать Дервиля клиентурой, добавил: «Пожалуй, надо бы взять с вас пятнадцать процентов годовых… Сверх процентов вы будете бесплатно, пока я жив, вести мои дела. Хорошо?» На том и условились.

В книге не уточняется, о каких именно процентах шла речь. Однако, зная характер старого скряги и учитывая срок договора, можно предположить, что о сложных. Нетрудно подсчитать, какую сумму должен был выплатить ростовщику Дервиль, взяв в долг 150 тысяч франков сроком на 10 лет под 15% годовых, если бы выплачивал сложные проценты от исходной суммы:

a₁₀ = 150 000 × (1 + 0,01 × 15)¹⁰ ≈ 606 834 франка, что в четыре раза больше самого кредита!

Для сравнения вычислим, какую сумму полагалось вернуть в случае, если бы расчёты велись по формуле простых процентов:

а₁₀ = 150 000 × (1 + 0,01 × 15 × 10) = 375 000 франков.

Разница весьма ощутимая: более 230 тысяч франков.

ОБОСНОВАННЫЙ ВЫБОР

Как видим, надолго брать деньги взаймы лучше под простые проценты — возвращать придётся меньше. А вот одалживать их кому-то или отдавать сбережения на хранение в банк, да ещё на длительный срок, выгоднее тогда, когда при прочих равных условиях расчёт ведётся по формуле сложных процентов.

Чтобы понять, почему это так, достаточно сравнить значения выражений (1 + 0,01pn) и (1 + 0,01p)ⁿ. При фиксированном проценте годовых p с увеличением срока вклада (кредита), то есть числа n, значение второго выражения растёт быстрее, чем первого (как известно, показательная функция y = (1 + 0,01p)^x при x > 1 растёт быстрее линейной y = 0,01px + 1). И чем больше n, тем заметнее разница их значений. Это наглядно иллюстрируют результаты вычислений, сведённые в таблицу (расчёты сделаны для p = 10, значения 1,1ⁿ округлены до сотых), и построенные на их основе графики зависимости a_n от n.

Итак, сложные проценты принесут обладателю капитала больший доход, чем простые, причём этот доход будет существенно зависеть от сроков вклада (выданного кредита), не говоря уже о проценте годовых. Случай с ростовщиком служит тому ярким подтверждением: одолжив Дервилю деньги за малый (по меркам самого Гобсека) процент, через десять лет он должен был получить обратно вчетверо большую сумму. Для сравнения можете подсчитать, сколько заработал бы старик, назначь он привычную минимальную ставку — 50% годовых.

ВЫГОДНАЯ СДЕЛКА

А вот ещё один хрестоматийный пример денежных расчётов. Алёна Ивановна, старуха процентщица из романа Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание», предлагала Раскольникову деньги под заклад на весьма выгодных для себя условиях: «Вот-с, батюшка: коли по гривне в месяц с рубля, так за полтора рубля (в которые оценён заклад. — Прим. авт.) причтётся с вас пятнадцать копеек, за месяц вперёд-с. Да за два прежних рубля (за старый заклад. — Прим. авт.) с вас ещё причитается по сему же счёту вперёд двадцать копеек. А всего, стало быть, тридцать пять. Приходится же вам теперь всего получить за часы ваши рубль пятнадцать копеек».

Старуха одалживала деньги на месяц под 10%, которые требовала вперёд. Ясно также, что с каждой суммы она брала простые проценты. Интересно, прогадала ли Алёна Ивановна? Это как посмотреть. Деньги-то она давала на короткий срок, да и сама сделка предполагалась «одноразовой». Можно считать n = 1 (в таком случае срок выплаты, вообще говоря, может быть любым, расчёт процентов производится лишь раз), тогда и простые проценты, и сложные начисляются одинаково: исходная сумма a увеличивается на величину 0,01 pa. К тому же, если деньги не возвращались вовремя, старуха брала с должника проценты повторно. Так что в убытке она точно не оставалась.

Оно и понятно: при наличии ежемесячной прибыли (и немалой, надо заметить!) пользоваться при расчётах простыми процентами кредитору не только удобно, но и весьма выгодно, чего не скажешь о заёмщике. Добавим, что простые проценты и сегодня используются, как правило, при краткосрочных финансовых операциях (до года). Но банку это выгодно, а клиенту, скажем тому же вкладчику, не всегда. Если он долго не будет снимать деньги со счёта, банк будет пользоваться суммой процентов бесплатно, продолжая начислять деньги лишь на первоначальный капитал.

Вот такая хитрая арифметика получается!