Хочу сделать небольшое дополнение к своему примеру. Размышляя над поворотом обычной палки и соотнося это с четырехмерными вращениями можно решить, что пространственное сокращение такой же "воображаемый" эффект как и "воображаемое" сокращение проекции трехмерной палки на двумерную плоскость. Это не так. В первом примере у палки остается инвариантной именно трехмерная, обычная пространственная длина как корень квадратный из суммы квадратов соответствующих декартовых проекций. Во втором же случае четырехмерного вращения трехмерная длина не сохраняется. В качестве четвертой координаты у нас выступает время (точнее, произведение скорости света на время, величина ct), и сохраняется у нас лишь 4-длина. Когда мы переходим в другую систему отсчета, выбирая таким образом направление оси ct, проекция 4-длины на пространственную гиперплоскость (то есть обычная 3-длина) - меняется. Меняется самым обычным реальным образом. И изменение это столь же измеримо, как измерима и проекция обычной 3-х мерной палки на обычную 2-мерную плоскость.

Четырехмерный шар - нет. Если же Вы хотите провести аналогию с трехмерной сферой в четырехмерном пространстве, то согласно этой аналогии Вы должны были спросить про двумерную сферу (плоский круг в трехмерном пространстве). Вполне очевидно, что при некоторых вращениях круга в трехмерном пространстве он претерпевает сокращения в том или ином направлении.

Я же сказал - ему соответствует круг. У круга есть направления, при поворотах относительно которых окружность претерпевает сокращение в эллипс.

Правильно. Этим поворотам соответствует вращение вокруг оси времени.