Физический смысл волновой функции вероятности.
Волновая функция вероятности является решением дифференциальных уравнений движения, полученных путем замены гамильтониана и импульсов на дифференциальные операторы в уравнении для функции Гамильтона ньютоновской механики (уравнение Шредингера), или в уравнении 4-х вектора энергии-импульса релятивистской механики (уравнение Дирака) .
H → h/i ∂/∂t;
p_x → h/i ∂/∂х;
p_y → h/i ∂/∂y;
p_z → h/i ∂/∂z;
(1)
H= (p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2m →
h/i ∂ψ/∂t-h^2/2m ∆ψ=0;
(2)
H^2/c^2 -〖(p〗_x^2+p_y^2+p_z^2)=m^2 c^2 →
1/c^2 (∂^2 ψ)/(∂t^2 )+∆ψ= (m^2 c^2)/h^2 ψ;
(3)
Дифференциальные операторы (1) применимы к произвольной наблюдаемой точке в 4-х мерном пространстве времени. После перехода к дифференциальным операторам, видно, что решением любого из этих уравнений движения является траектория движения в пространстве. Никаких других сущностей, таких как поля, вероятности, в волновых функциях ψ в этих уравнениях не содержится по их определению. Волновые функции ψ как решения уравнений Шредингера или Дирака, являются ничем иным, как всего лишь функциями, описывающими область пространства-времени, где происходит движение или траекторию движения в пространстве-времени для произвольного объекта. Покажем это.
Рассмотрим задачу определения положения точки во времени в одномерном пространстве. Функция, являющаяся решением этого уравнения, зависит от координаты x и времени t, т.е. однозначно связывает эти две переменные определенным законом, можно выразить x через t, x=F(t) и получить однозначную траекторию движения. В одномерном пространстве с помощью одного уравнения движения можно однозначно установить, что в момент времени t, в такой-то точке x находится наблюдаемый объект.
Рассматривая задачу определения положения точки во времени в пространстве большей размерности (2D или 3D), с помощью одного уравнения движения мы не можем однозначно установить, в какой именно точке (x, y, z) находится наблюдаемый объект в момент времени t. Точные координаты (x,y,z,t) и привычную человеческому восприятию траекторию движения в виде линии в пространстве из уравнения движения (2)или (3) получить нельзя по простой причине: число неизвестных переменных 4, уравнение движения – одно, и для вычисления привычной линейной траектории движения недостаточно условий. В общем случае, решения уравнения действительно ищутся в виде функций ψ(x,y,z,t), и трудно сказать, каким подмножеством пространства-времени могут быть решения. Предположим, решениями могут быть совокупность линий, или поверхностей или областей, в которых может двигаться объект наблюдения. Не факт, что соседние точки из этой области образуют одномерную траекторию и разделены друг от друга хронологически упорядоченными интервалами времени dt. Да, действительно существует какая-то вероятность обнаружения объекта наблюдения в локальной области, являющейся подмножеством функции ψ. Эта вероятность равна 1 при интегрировании по всей области функции ψ. Плотность вероятности в локальной области не определена. Эта вероятность по физическому смыслу есть совсем другая величина, и она не равна самой функции ψ.
Приведем макроскопический пример. Рассмотрим движение спутника по орбите. Спутник движется вокруг Земли по вполне определенной траектории, путь это будет круговая орбита высотой H. Напишем для спутника гамильтониан движения, получим аналогичное уравнение движения. Этому уравнению будет удовлетворять не одна орбита, а все орбиты на высоте Н, совокупность всех орбит описывается шаровыми функциями ψ(x,y,z,t). Но это не значит, что «спутник размазывается по поверхности сферы на высоте H».
Ниже для функции ψ иногда будем употреблять термин «траектория движения».
По аналогии с общей теорией относительности, в стационарных состояниях волновые функции ψ можно представить как геодезические линии, или геодезические поверхности, или области. Объект наблюдения (частица) может двигаться внутри них произвольно по инерции, не изменяя своей полной энергии, но неизвестно по какой реальной траектории, потому, что не существует теории для описания этого движения, и не существует экспериментов, позволяющих измерить это движение. Только не достигнутое человечеством знание, а не законы природы, не позволяют точно описать движение элементарной частицы.
Под внешним воздействием (поглощение порции энергии) частица может покинуть одну геодезическую траекторию и перейти на другую.
Согласно (Вейль., "Теория групп и квантовая механика"), набор всех функций ψ, являющихся решением уравнения движения, образует группу Ли. Для некоторого оператора Q может быть построена эрмитова форма из набора функций ψ, решена задача на собственные функции и собственные значения для оператора Q, построен базис из собственных функций (ψ_1,ψ_(2…) ψ_n). Коэффициенты a_i разложения произвольной функции ψ= ∑〖a_i ψ_i 〗 по собственным функциям оператора Q определяют вероятность нахождения системы в состоянии ψ_i, т.е. вероятность, что система принимает значение, равное собственному числу qi составляет W= a_i ¯(a_i ).
Отметим, что сама по себе функция ψ как решение уравнения движения - область движения по своему природному происхождению не имеет вероятностного характера, и это так и рассматривается в книге Вейля. Вероятность появляется после применения оператора Q к статистической системе из многих функций ψ. Вероятность также появляется при рассмотрении подобласти функции ψ, и наличии в ней частицы, потому что неизвестно как внутри области функции ψ двигается частица. Термин волновая функция вероятности ψ в общем применении не верен, но часто используется в физической литературе и многих вводит в заблуждение.
Итак, мы выяснили, что в отличие от аксиом квантовой механики, волновая функция ψ не имеет вероятностного характера от природы, и кроме того не описывает элементарную частицу и ее внутренние свойства, а всего лишь неточно описывает траекторию движения частицы в пространстве-времени 4D. Попытки описать частицу в виде волнового пакета или солитона некоторого поля ψ с целью разрешить парадокс корпускулярно-волнового дуализма бессмысленны, потому что волновая функция есть область, в которой происходит движение, а траектория движения это не волна физического поля.
К функции распределения плотности вероятности можно применить любой оператор с целью получения плотности распределения или среднего значения физической величины. Например, умножение функции распределения на заряд дает плотность распределения заряда. Но волновая функция ψ не есть функция распределения вероятности, а область неопределенной траектории движения, а какова истинная плотность распределения вероятности обнаружить частицу внутри этой области, остается не известным.
Не всякий оператор квантовой теории имеет смысл применять к волновой функции ψ, как к траектории движения. Операторы энергии и импульса имеют физический смысл, их применение к волновой функции можно рассматривать, как переход от одной геодезической области движения к другой (из одного стационарного состояния в другое). Применение оператора заряда к волновой функции также имеет смысл: например, получение средней области распределения отрицательного заряда вокруг положительного ядра для совокупности атомов.
Применение оператора умножения траектории движения на координату x с целью получения координаты частицы - физически бессмысленно. Из этого следует бессмысленность доказательства известного соотношения неопределенностей:
∆p∙∆x≥h/2;
приведенное на стр. 104. упомянутой выше книги (Вейль.). Соотношение неопределенностей считается почти аксиомой квантовой физики и вошло во все известные учебники и научно-популярную литературу по физике.
Утверждение, что свободный электрон, обладающий точно измеренным импульсом р невозможно локализовать в пространстве в области от - до + (бесконечности) , и поэтому электрон размазан в пространстве от - до + - не верно по физическому смыслу. Электрон не размазан по пространству физически. Это утверждение означает, что решением уравнения движения свободного электрона с точно заданным импульсом p является не определенная во времени траектория движения в виде прямой линии в области от - до +. Точнее, эта траектория, как функция ψ, описывается в виде плоских волн. В каком конкретном месте траектории находится электрон в заданный момент времени указать невозможно по причине отсутствия хронологических условий в решении данного уравнения движения.
Так как функция ψ является траекторией движения в 4-х мерном пространстве времени, она как «траектория», или «область» может быть описана в виде функции из нескольких компонент, от 1 до 3-х. Компоненты функций изменяются независимо друг от друга, выбор взаимозависимостей может быть сделан произвольно, конкретные зависимости здесь приведены для примера, и могут быть другими. Функция из четырех компонент предполагает полную независимость всех 4-х пространственно-временных компонент объекта наблюдения, и не может удовлетворять уравнению движения.
Однокомпонентная функция φ (скаляр):
φ –устанавливает связь между всеми четырьмя координатами (ix,iy,iz,t). Ее также называют скалярной и обозначают другой буквой φ.
Двухкомпонентная функция ψ (спинор):
ψ1 – устанавливает связь между пройденным расстоянием и временем (r, t),
где r=√(x^2+y^2+z^2 );
ψ2 –устанавливает связь между двумя координатами в плоскости, перпендикулярной направлению движения (x, y).
Трехкомпонентная векторная функция ψ:
ψ1 –устанавливает связь между пройденным расстоянием и временем (r, t),
где r=√(x^2+y^2+z^2 );
ψ2 – устанавливает связь между расстоянием на плоскости, перпендикулярной направлению движения r’ и z-координатой (r’, z) , где r'=√(x^2+y^2 );
ψ3 –устанавливает связь между двумя координатами (x, y).
Можно заметить, что векторная функция, так же как и скалярная подходят для описания волновых процессов в пространстве, но спинор не подходит. В компонентах спинора отсутствует связь между плоскостью перпендикулярной направлению движения, и направлением движения.
Спин частицы, как квантовое число, являющееся собственным значением инфинитезимального оператора поворота двух- или трехкомпонентной волновой функции ψ, на самом деле является характеристикой траектории движения, а не внутренним свойством самой частицы.
Спинорное поле это набор двухкомпонентных функций, описывающих абстрактную сетку из возможных траекторий движения частиц фермионов, например, электронов. Если вспомнить общую теорию относительности, да, сетку из геодезических линий можно рассматривать как поле. Набор всех функций ψ спинорного поля можно рассмотреть как многообразие, ввести некоторые операторы Q над этим полем, решить задачу на собственные функции и собственные значения, получить вероятностные характеристики.
Операторы рождения и уничтожения частиц в спинорном поле не описывают никаких внутренних механизмов рождения и уничтожения частиц, но описывают возможность самого факта их появления, существования и движения в геодезических областях спинорного поля.
Аналогично рассматриваются скалярное и векторные поля. Есть отличие, что между всеми пространственно-временными компонентами устанавливается связь. Такие поля по своим свойствам изоморфны физическим полям. Но это всего лишь математически установленная связь, без какого-нибудь физического смысла.
Волновая функция вероятности является решением дифференциальных уравнений движения, полученных путем замены гамильтониана и импульсов на дифференциальные операторы в уравнении для функции Гамильтона ньютоновской механики (уравнение Шредингера), или в уравнении 4-х вектора энергии-импульса релятивистской механики (уравнение Дирака) .
H → h/i ∂/∂t;
p_x → h/i ∂/∂х;
p_y → h/i ∂/∂y;
p_z → h/i ∂/∂z;
(1)
H= (p_x^2+p_y^2+p_z^2)/2m →
h/i ∂ψ/∂t-h^2/2m ∆ψ=0;
(2)
H^2/c^2 -〖(p〗_x^2+p_y^2+p_z^2)=m^2 c^2 →
1/c^2 (∂^2 ψ)/(∂t^2 )+∆ψ= (m^2 c^2)/h^2 ψ;
(3)
Дифференциальные операторы (1) применимы к произвольной наблюдаемой точке в 4-х мерном пространстве времени. После перехода к дифференциальным операторам, видно, что решением любого из этих уравнений движения является траектория движения в пространстве. Никаких других сущностей, таких как поля, вероятности, в волновых функциях ψ в этих уравнениях не содержится по их определению. Волновые функции ψ как решения уравнений Шредингера или Дирака, являются ничем иным, как всего лишь функциями, описывающими область пространства-времени, где происходит движение или траекторию движения в пространстве-времени для произвольного объекта. Покажем это.
Рассмотрим задачу определения положения точки во времени в одномерном пространстве. Функция, являющаяся решением этого уравнения, зависит от координаты x и времени t, т.е. однозначно связывает эти две переменные определенным законом, можно выразить x через t, x=F(t) и получить однозначную траекторию движения. В одномерном пространстве с помощью одного уравнения движения можно однозначно установить, что в момент времени t, в такой-то точке x находится наблюдаемый объект.
Рассматривая задачу определения положения точки во времени в пространстве большей размерности (2D или 3D), с помощью одного уравнения движения мы не можем однозначно установить, в какой именно точке (x, y, z) находится наблюдаемый объект в момент времени t. Точные координаты (x,y,z,t) и привычную человеческому восприятию траекторию движения в виде линии в пространстве из уравнения движения (2)или (3) получить нельзя по простой причине: число неизвестных переменных 4, уравнение движения – одно, и для вычисления привычной линейной траектории движения недостаточно условий. В общем случае, решения уравнения действительно ищутся в виде функций ψ(x,y,z,t), и трудно сказать, каким подмножеством пространства-времени могут быть решения. Предположим, решениями могут быть совокупность линий, или поверхностей или областей, в которых может двигаться объект наблюдения. Не факт, что соседние точки из этой области образуют одномерную траекторию и разделены друг от друга хронологически упорядоченными интервалами времени dt. Да, действительно существует какая-то вероятность обнаружения объекта наблюдения в локальной области, являющейся подмножеством функции ψ. Эта вероятность равна 1 при интегрировании по всей области функции ψ. Плотность вероятности в локальной области не определена. Эта вероятность по физическому смыслу есть совсем другая величина, и она не равна самой функции ψ.
Приведем макроскопический пример. Рассмотрим движение спутника по орбите. Спутник движется вокруг Земли по вполне определенной траектории, путь это будет круговая орбита высотой H. Напишем для спутника гамильтониан движения, получим аналогичное уравнение движения. Этому уравнению будет удовлетворять не одна орбита, а все орбиты на высоте Н, совокупность всех орбит описывается шаровыми функциями ψ(x,y,z,t). Но это не значит, что «спутник размазывается по поверхности сферы на высоте H».
Ниже для функции ψ иногда будем употреблять термин «траектория движения».
По аналогии с общей теорией относительности, в стационарных состояниях волновые функции ψ можно представить как геодезические линии, или геодезические поверхности, или области. Объект наблюдения (частица) может двигаться внутри них произвольно по инерции, не изменяя своей полной энергии, но неизвестно по какой реальной траектории, потому, что не существует теории для описания этого движения, и не существует экспериментов, позволяющих измерить это движение. Только не достигнутое человечеством знание, а не законы природы, не позволяют точно описать движение элементарной частицы.
Под внешним воздействием (поглощение порции энергии) частица может покинуть одну геодезическую траекторию и перейти на другую.
Согласно (Вейль., "Теория групп и квантовая механика"), набор всех функций ψ, являющихся решением уравнения движения, образует группу Ли. Для некоторого оператора Q может быть построена эрмитова форма из набора функций ψ, решена задача на собственные функции и собственные значения для оператора Q, построен базис из собственных функций (ψ_1,ψ_(2…) ψ_n). Коэффициенты a_i разложения произвольной функции ψ= ∑〖a_i ψ_i 〗 по собственным функциям оператора Q определяют вероятность нахождения системы в состоянии ψ_i, т.е. вероятность, что система принимает значение, равное собственному числу qi составляет W= a_i ¯(a_i ).
Отметим, что сама по себе функция ψ как решение уравнения движения - область движения по своему природному происхождению не имеет вероятностного характера, и это так и рассматривается в книге Вейля. Вероятность появляется после применения оператора Q к статистической системе из многих функций ψ. Вероятность также появляется при рассмотрении подобласти функции ψ, и наличии в ней частицы, потому что неизвестно как внутри области функции ψ двигается частица. Термин волновая функция вероятности ψ в общем применении не верен, но часто используется в физической литературе и многих вводит в заблуждение.
Итак, мы выяснили, что в отличие от аксиом квантовой механики, волновая функция ψ не имеет вероятностного характера от природы, и кроме того не описывает элементарную частицу и ее внутренние свойства, а всего лишь неточно описывает траекторию движения частицы в пространстве-времени 4D. Попытки описать частицу в виде волнового пакета или солитона некоторого поля ψ с целью разрешить парадокс корпускулярно-волнового дуализма бессмысленны, потому что волновая функция есть область, в которой происходит движение, а траектория движения это не волна физического поля.
К функции распределения плотности вероятности можно применить любой оператор с целью получения плотности распределения или среднего значения физической величины. Например, умножение функции распределения на заряд дает плотность распределения заряда. Но волновая функция ψ не есть функция распределения вероятности, а область неопределенной траектории движения, а какова истинная плотность распределения вероятности обнаружить частицу внутри этой области, остается не известным.
Не всякий оператор квантовой теории имеет смысл применять к волновой функции ψ, как к траектории движения. Операторы энергии и импульса имеют физический смысл, их применение к волновой функции можно рассматривать, как переход от одной геодезической области движения к другой (из одного стационарного состояния в другое). Применение оператора заряда к волновой функции также имеет смысл: например, получение средней области распределения отрицательного заряда вокруг положительного ядра для совокупности атомов.
Применение оператора умножения траектории движения на координату x с целью получения координаты частицы - физически бессмысленно. Из этого следует бессмысленность доказательства известного соотношения неопределенностей:
∆p∙∆x≥h/2;
приведенное на стр. 104. упомянутой выше книги (Вейль.). Соотношение неопределенностей считается почти аксиомой квантовой физики и вошло во все известные учебники и научно-популярную литературу по физике.
Утверждение, что свободный электрон, обладающий точно измеренным импульсом р невозможно локализовать в пространстве в области от - до + (бесконечности) , и поэтому электрон размазан в пространстве от - до + - не верно по физическому смыслу. Электрон не размазан по пространству физически. Это утверждение означает, что решением уравнения движения свободного электрона с точно заданным импульсом p является не определенная во времени траектория движения в виде прямой линии в области от - до +. Точнее, эта траектория, как функция ψ, описывается в виде плоских волн. В каком конкретном месте траектории находится электрон в заданный момент времени указать невозможно по причине отсутствия хронологических условий в решении данного уравнения движения.
Так как функция ψ является траекторией движения в 4-х мерном пространстве времени, она как «траектория», или «область» может быть описана в виде функции из нескольких компонент, от 1 до 3-х. Компоненты функций изменяются независимо друг от друга, выбор взаимозависимостей может быть сделан произвольно, конкретные зависимости здесь приведены для примера, и могут быть другими. Функция из четырех компонент предполагает полную независимость всех 4-х пространственно-временных компонент объекта наблюдения, и не может удовлетворять уравнению движения.
Однокомпонентная функция φ (скаляр):
φ –устанавливает связь между всеми четырьмя координатами (ix,iy,iz,t). Ее также называют скалярной и обозначают другой буквой φ.
Двухкомпонентная функция ψ (спинор):
ψ1 – устанавливает связь между пройденным расстоянием и временем (r, t),
где r=√(x^2+y^2+z^2 );
ψ2 –устанавливает связь между двумя координатами в плоскости, перпендикулярной направлению движения (x, y).
Трехкомпонентная векторная функция ψ:
ψ1 –устанавливает связь между пройденным расстоянием и временем (r, t),
где r=√(x^2+y^2+z^2 );
ψ2 – устанавливает связь между расстоянием на плоскости, перпендикулярной направлению движения r’ и z-координатой (r’, z) , где r'=√(x^2+y^2 );
ψ3 –устанавливает связь между двумя координатами (x, y).
Можно заметить, что векторная функция, так же как и скалярная подходят для описания волновых процессов в пространстве, но спинор не подходит. В компонентах спинора отсутствует связь между плоскостью перпендикулярной направлению движения, и направлением движения.
Спин частицы, как квантовое число, являющееся собственным значением инфинитезимального оператора поворота двух- или трехкомпонентной волновой функции ψ, на самом деле является характеристикой траектории движения, а не внутренним свойством самой частицы.
Спинорное поле это набор двухкомпонентных функций, описывающих абстрактную сетку из возможных траекторий движения частиц фермионов, например, электронов. Если вспомнить общую теорию относительности, да, сетку из геодезических линий можно рассматривать как поле. Набор всех функций ψ спинорного поля можно рассмотреть как многообразие, ввести некоторые операторы Q над этим полем, решить задачу на собственные функции и собственные значения, получить вероятностные характеристики.
Операторы рождения и уничтожения частиц в спинорном поле не описывают никаких внутренних механизмов рождения и уничтожения частиц, но описывают возможность самого факта их появления, существования и движения в геодезических областях спинорного поля.
Аналогично рассматриваются скалярное и векторные поля. Есть отличие, что между всеми пространственно-временными компонентами устанавливается связь. Такие поля по своим свойствам изоморфны физическим полям. Но это всего лишь математически установленная связь, без какого-нибудь физического смысла.
Изменено:
Olginoz - 14.03.2010 09:20:18(Исправление в формулах)
