Задачка - то Кости элементарная.
Составим уравнение движения дробины, приняв за начало координат центр шара.
Считаем, что трение пренебрежимо мало.
Пусть
R - радиус шара,
M - масса шара,
m - масса дробины,
 x - координата дробины в канале,
 Г- гравитационная постоянная,
 Mx - масса той части шара, которая заключена в сфере радиуса x , т.е., лежит ниже дробины.
Очевидно,
Mx = (x^3/R^3)*M
По закону всемирного тяготения на дробину действует сила:
F = (Г*Mx*m/x^2) =(Г*M*m/R^3)*x
Записываем 2 закон Ньютона для дробины:
 x " + (Г*M/R^3)*x  = 0
(здесь x " обозначена вторая производная x по времени, а масса m дробины сократилась).
Получили классическое уравнение гармонического осциллятора (грузика на пружинке):
 x" +( w^2)*x = 0,
в котором частота
w = sqrt(Г*M/R^3).
Вывод: дробина будет колебаться с постоянной частотой  sqrt(Г*M/R^3), не зависящей от амплитуды.
Если трение не учитывать, а дробину запустить с поверхности шара, то она будет колебаться вечно с данной частотой и амплитудой R.
Если трение существует, но слабое, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, но частота останется постоянной.

Учёные доказали, что Дни рождения полезны для здоровья. Оказывается, что те люди, у которых было больше Дней рождения, жили, как правило, дольше.

Хотеть не вредно.
Вредно не хотеть.