[I]В психологии есть такое понятие-феномен как «правило переноса». Его открыл, один американский исследователь. В школе он занимался с детьми математикой, и в частности помогал детям учить таблицу умножения. Вот итог достигнут, и детей разбуди ночью, и они без труда ответят на все вопросы, и без единой ошибки.
Далее, учитель предлагает детям продавать апельсины на улице. Поштучно. Один апельсин стоит 5 центов. И вот тут то..начинается...чтобы продать 7 апельсинов (это просто 5 перемножить на 7, как в таблице умножения)..они спешат к помощи калькулятора. Здесь уже чисто математические операции, как бы заретушованы жизнью, и трудно им найти результат.
Теперь к сути. Предлагаю Вам установить, в приведённом ниже примере, это правило переноса действует, или же «учитель» чего то не понимает.
Вот я в роли учителя, и помогаю изучить последовательности, ряды, пределы функций и последовательностей, сходимость и расходимость рядов..и всё что с этим связана. Тема изучена, и все мои ученики легко находят предел, стремление ряда. И если к примеру последовательность стремится к плюс-бесконечности, то ученики отвергают как абсурдную, идею о том что последовательность может прийти(стремиться) к 0, или же к конечному пределу. Теперь ученики предмет знают на ОТЛИЧНО!
И вот начинается «продажа апельсинов»!
Учитель предлагает решить задачу, и ответить правильно ли она решена. Правилен ли ответ учителя, или же там может быть иной ИТОГ?![/I]
ЗАДАЧА(Индия 5-6 век)
Перед нами узкая тропинка, бесконечно удаляющееся в бесконечную даль!
Она состоит из одинаковых квадратов белой бумаги. Количество квадратов бесконечно.
У нас есть путник, который хочет пройти всю дорогу и наступить на каждый квадрат.
[B]Условия:[/B]
Он может использовать бесконечное количество попыток.
Однако, при каждой новой попытке, он должен увеличивать длину своего шага, и начинать
движение, с конца второго шага, при предыдущей попытке.
[B]Выполнение:[/B]
После первой попытки, из каждых 6 квадратов, путник наступает на 2 квадрата.
После второй попытки, из каждых 10 нетронутых, путник наступает на 2 квадрата.
После третьей попытки, из каждых 15 нетронутых, путник наступает на 2 квадрата.
[I]И так далее.[/I]
Путник, наступает и на квадраты, на которые он ранее наступал. Мы это не учитываем!
И так далее.
При этом, количество попаданий к группе не тронутых, всегда остаётся прежним. Это 2.
Количество квадратов в новой группе, постоянно возрастает.
После первой попытки, шагая по тропинке, в среднем, путник прошагал N квадратов.
После второй попытки, шагая по тропинке, в среднем, путник прошагал Y квадратов.
X [I][B] Y > N[/B][/I]
После второй попытки, шагая по тропинке, в среднем, путник прошагал Z квадратов.
X [I][B] Z > Y[/B][/I]
И так далее.
При этом, среднее количество квадратов, которое прошагивается (на которые не наступает путник) постоянно увеличивается.
[B]Вопрос:[/B]
Может ли путник, с какой то попытки, на тропинке, постепенно наступать на все квадраты.
То есть, может ли, когда нибудь и с какой то попытки, количество квадратов, на которые не ступала нога путника, прийти к 0.
То есть может ли ряд количества нетронутых квадратов сойтись!
[I]Небольшие пояснения![/I]
Путник у нас в пути использует ряд «операций пути»
[B] 2/6→ 2/10→ 2/15→ 2/22→ 2/24→ ∞[/B]
По которому мы можем увидеть что количество наступлений на квадраты, стремиться к бесконечно-малой величине:
[B] 2/6→ 2/10→ 2/15→ 2/22→ 2/24→ ∞[/B]
а количество квадратов, на которые не может наступить путник к иной величине:
[B] 4/6→ 8/10→ 13/15→ 20/22→ 22/24→ ∞[/B]
Средняя прошагиваемость, это количество нетронутых квадратов, на один шаг пути.
Высчитывалась, ...количество не тронутых квадратов разделив на количество шагов.
([I]Как высчитывался ряд операций 2/6→ 2/10→ 2/15→ 2/22→ 2/24→ ∞ и средняя прошагиваемость 1,2→1,5→2,2→2,7→2,9→+∞ , мы здесь опустим. Это не важно для решения задачи. Примем как безусловность[/I].)
При первой попытке он наступал на [B]2 из 6[/B] квадратов, и средняя прошагиваемость была [B]1,2[/B] квадрата.
При второй попытке он наступал на [B]2 из 10[/B] квадратов(которые остались не тронутыми в прошлый раз), и средняя прошагиваемость стала [B]1,5 квадрата.[/B]
При третьей попытке он наступал на[B] 2 из 15[/B] квадратов(которые остались не тронутыми в прошлые разы), и средняя прошагиваемость была[B] 2,2 квадрата.[/B]
При четвёртой попытке он наступал на [B]2 из 22 [/B]квадратов(которые остались не тронутыми в прошлые разы), и средняя прошагиваемость была [B]2,7 квадрата.[/B]
При пятой попытке он наступал на [B]2 из 24[/B] квадратов(которые остались не тронутыми в прошлые разы), и средняя прошагиваемость была [B]2,9 квадрата.[/B]
[B]2/n[/B] постоянно увеличивается n. [B]2[/B]—постоянная величина.
Прошагиваемость, постоянно увеличивается!
Если, среднею прошагиваемость и допущение прихода к 0, отразить на графиках, то мы явно увидим что кривые роста среднего прошагивания и итога пути..разойдутся, и не соединятся в одной точке. Первая у нас стремительно будет расти вверх, а вторая лежать на нулевой прямой!
[B]Вопрос:[/B] Так правилен ли вывод и на практике?! Итог — это бесконечное количество квадратов, на которые не может наступить путник, или же нет, ряд сходится?!
Или же как у нас говорилось вначале...стремление к бесконечно-большой величине, к беснонечно-большой величине и приводит!
[I]Ещё одно дополнительное разъяснение:[/I]
Путник, при каждой попытке пройти путь, увеличивает длину своего шага, и начинает путь с конца второго шага при предыдущей попытке (от этого позади на пути постепенно откладывается результат пути, который не изменить. Итог всех попыток путника).
При каждой новой попытке, от того что увеличивается длина шага, то автоматически вначале увеличивается и средняя прошагиваемость путника(то есть, то количество квадратов, которые он в среднем на один шаг прошагнул в предыдущей попытке).
[B]Пример: Попытка № 23[/B]
прошагиваемость была до этого 11,2
теперь длина шага увеличилась в 1, 45 раз.( от 10,344.. до 15,0)
Прошагиваемость увеличилась за счёт увеличения длины шага 11,2 *1,45=16,24
Но, это было бы так, если бы при этой попытке пройти путь, он не наступил ни на один квадрат. Но путник наступает...и теперь уже за счёт новых наступлений, прошагиваемость с 16,24 подошла к реальной 15,85.Уменьшение на 0,39
[B] Попытка № 24[/B]
прошагиваемость была до этого 15,85
теперь длина шага увеличилась в 1, 59 раз от длины предыдущего шага(от 15, до 23,85).
Прошагиваемость увеличилась за счёт увеличения длины шага 15,85 *1,59=25,2015
Но, это было бы так, если бы при этой попытке пройти путь он не наступил ни на один квадрат. Но путник наступает...и теперь уже за счёт новых наступлений, прошагиваемость с 25,2015 подошла к реальной 24,8715. Уменьшение на 0,33.
И так далее.
И при этом. Прошагиваемость закономерно идёт по пути
[I][B]11,2→15,85→24,8715→плюс-бесконечность[/B][/I]
А величина уменьшения закономерно идёт по пути
[I][B]0,39→0,33→бесконечно-малая величина.[/B][/I]
[B]Вот и вопрос,[/B] какой итог пути путника?! На все он квадраты наступит, на конечное количество квадратов, или количество квадратов на которые он не наступит бесконечно?!
[I]Моё мнение.[/I]..это бесконечно...так как величина прошагивания которая стремится к плюс-бесконечности не может привести к 0. И если допустить что количество конечное, и примеру после попытки № 4576543 путник при каждой новой попытке, вначале пути где он оставляет не тронутыми 2 первых шага при предыдущей попытке, то в них будет только 0 квадратов(не тронутых) и так далее в бесконечность, то тогда так и будет, что то стремление к плюс-бесконечности, которое будет и тогда (и бесконечно после попытки №4576543), но в итоге приведёт к 0! А это не возможно!
[I]Так вот, лично я, в течении 2 лет, на разных форумах математических, пытаюсь получить ответ..но везде никакого ответа. Интирес есть, но как только дело доходит к ответу...»уход в кусты». И там же на форумах, множество тем с нахождением пределов, об определении ряда на сходимость, и так далее.. где есть формулы..и там происходит «счёлканье семечек ».Легко и быстро находят ответ!
Так что здесь «правило переноса», или же сам «учитель» чего то недопонимает?![/I]
