Вот Вы здесь попались самым откровенным образом. Вас подвела Ваша вера в святых апостолов. Метрика неопределена, равно как и бесконечность. В том смысле, что бесконечное приближение к значению даёт неопределённость, в виду отсутствия средств определения. Мы приняли, что существует дифференциал и бесконечно малые более высокого (высшего) порядка, а после того, как убедились, что это работает, уверовали в эти вещи. И мы уже не способны рассматривать ДОФ, в виду отсутствия, какой бы то ни было, необходимости. Во исполнение известного - да не сотворим себе излишней сущности! Следовательно, метрика может быть произвольной,  что и следует из рассуждений Хаусдорфа. Но она должна быть, безусловно, функциональной, иначе отсутствует инструмент исследования. Нелинейная метрика (здесь принято распределения)  более общая, по сравнению с линейной. Отсюда представление об объёмной функции. Когда распределения относительны. Построения могут быть постулированы, важны результаты их применения. Здесь получена последовательная картина мира, совершены открытия.

Павел Чижов
ЧД - чёрные дыры, АЯГ-  активные ядра галактик. Общепринятая аббревиатура.