Напряженность поля это разность потенциалов, так как по определению представление о потенциальном поле включает его дивергенцию, в общем случае, а, следовательно, и градиент, производную в определенной точке. Иначе как мы можем сказать, что это поле неоднородно? Такое возможно "только" через дифференцирование, когда исследуя его в определенной точке, мы можем заключить, что соответствующая ему математическая функция либо возрастает, либо убывает. Следовательно, представление о потенциале поля , как "заведомо" неоднородной функции, уже включает в себя понятие производной (когда мы выясняли сущность потенциальной функции, потенциала). Таким образом, понятие потенциала включает понятие дифференцирования и выражение "градиент потенциала" "бессмыслица", непоследовательность. Математиков не надо винить, они предоставили Вам исследовательский аппарат, совершенный по определению 8) . Вопрос в правильном его использовании.
Напряженность необходимо выражать только через потенциал поля, если поле однородно, то понятие потенциала теряет смысл.

Валерий Пивоваров,
 Речь идет просто о логической ошибке в определениях, о тавтологии, так как определение потенциала вынужденно включает в себя представление о производной, конкретно о градиенте, как производной в точке, когда акцентируется понятие  дифференциала с тем, чтобы можно было подчеркнуть производную, как векторную величину. Следовательно, "градиент потенциала" это масло масленное , производная производной. Такого нет в математике, а, значит, не может быть и в правильной физике.