Если мы рассматриваем общие числа, как расширение для вещественных, то последние являются дискретными в виду этого.
Частный здесь по направлению, то есть это полный, но вне декартовой системы координат, когда частный означает дифференциал по одной из осей. Там ( т.3. стр. 368) приводится соответствующая зависимость между градиентом по направлению и декартовым выражением.
В чём, собственно,  ошибка? Неправильно составлен дифференциал?
Составные части подынтегрального выражения векторы. Как производная gradP, так и дифференциал аргумента ∂r. Подынтегральное выражение (дифференциал) определяет элементарный уровень значения, интегрируя получаем исходное поле.
Хорошо, что Вас не будет в аттестационной комиссии при моей защите, если она когда-то состоится. Хотя,  Вы очень полезный оппонент.