Нет, конечно. Кубик Рубика обратим. Как Вы говорите, стоит повторить движения в обратном порядке. А тут необратимость. Я не нашел в доступной литературе сведений о закономерностях при тасовании.

Относительно решателей  ВТФ можно не заблуждаться - способности решать (но не решить) у них безграничны, а процесс затягивает так, что отвлекаться на мелочи недосуг.
Вопрос не сложен, сложность лишь в нечеткой формулировке.
Автор производит ряд  действий с колодой карт. Какие именно манипуляции он производит несущественно - важен результат: это подстановка на множестве {1,2,3, ... , n}, то есть инъективное отображение этого множества на себя. Описание манипуляций лишь фиксирует некоторую подстановку. Последовательное выполнение нескольких может быть различных подстановок - это их суперпозиция (называемая также произведением подстановок) и является тоже подстановкой. Если подстановку возводить в степень, то есть последовательно применить несколько раз, то неизбежно на некотором шаге k получится тожественная подстановка: x -> x, x=1, 2, ... , n. Для вычисления наименьшего такого k нужно разложить подстановку в произведение  независимых (то есть передвигающие по циклу непересекающиеся подмножества элементов, в совокупности исчерпывающие все элементы) и взять НОК их длин.
Например, подстановка 1->1, 2->5, 3->2, 4->6, 5->3, 6->7, 7->4 из авторского примера разлагается в независимые циклы: 1->1, 2->5->3->2, 4->6->7->4 (записываемые короче (1), (253), (467)), следовательно повторение ее трижды приводит к тождественной подстановке.

1) Вы берете последовательность 1234, разделяете ее пополам: 12|34, числа 34 второго куска ставите вслед за числами первого и получаете последовательность 1324. Сравнение с исходной последовательностью (напишите их друг под другом) дает инъективное отображение 1->1, 2->3, 3->2, 4->4, то есть подстановку. Разложение этой подстановки в произведение независимых циклов: (1)(23)(4), то есть Ваша процедура есть ничто иное как перестановка двух ее средних членов. Повторное  применение процедуры вернет перестановку в исходное положение. НОК в данном случае - это наименьшее общее кратное чисел 1, 2, 1.
2) Берем последовательность 1234, разделяем пополам 12|34, числа 34 второго куска теперь ставим перед числами первого и получаем последовательность 3142. Сравнение с исходной последовательностью теперь дает подстановку 1->3, 2->1, 3->4, 4->2, то есть цикл 1->3->4->2->1 или как принято писать (1342). НОК=4.
Последовательное применение этой подстановки перемещает числа 1, 2, 3, 4 по кругу
1->3->4->2->1
2->1->3->4->2
3->4->2->1->3
4->2->1->3->4
Это и соответствует Вашим перестановкам  3 1 4 2, 4 3 2 1, 2 4 1 3 и 1 2 3 4 - здесь они соответственно во 2м, 3м и 4м столбцах.

Первоначальные сведения о подстановках

Более продвинутые

Вовсе не обязательно, возьмите подстановку (12)(3)