Ну, давайте разберём ситуацию чуть подробнее.
Действительно, в макроскопическом приближении ситуация выглядит так, что  вся энергия, сообщённая утюгу, превратилась в довесок к массе по курсу M=E/c^2. А поскольку нагревание приводит к увеличению кинетической энергии молекул, то, вроде как, масса тела тупо зависит от скорости. Но при детальном рассмотрении все оказывается сложнее.
1) Рассматривая макроскопическую систему, мы считаем, что при нагревании мы передаём системе энергию, но не передаём импульс.  То есть в формуле 9.1 у окуня векторная сумма импульсов молекул остаётся нулевой и после нагревания. Поэтому оказывается, что вся сообщённая энергия  уходит на довесок к массе. Но строго говоря, это не всегда так. Пусть мы нагреваем идеально поглощающую пластинку направленным потоком фотонов. Несмотря на то, что поглотятся все фотоны, не вся их энергия пойдёт на увеличение массы пластинки, потому что пластинка в итоге приобретёт некоторый импульс.
2) Неправильно считать. что при нагревании изменение масс происходит исключительно из-за увеличения скорости молекул. Изменение происходит из-за увеличения полной энергии. А уж как это увеличение перераспределится между кинетической энергией в системе центра масс и потенциальной энергией взаимодействия молекул - зависит от конкретного случая. Совершенно очевидно, скажем, что для утюга (кристаллическая решётка) и идеального газа это соотношение будет разным.

Полагаете, что удобнее, - как хотите.
Мне - логичнее считать массу независимой от направления вектора скорости и сопоставлять её с внутренней энергией объекта.

Думаю, да. Я нахожусь за тысячи километров от Москвы, но судя по рекомендациям в списках литературы на формах - наверное, да. ВП сказал бы точно, CASTRO, наверное тоже в курсе.

CASTRO выложил ссылку на свой 10-летний труд.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/598063/09.1._Spin_%40_NICA-SPD-PAC.pdf

Ещё бы.