Нет, не лазьте под стол, пожалуйста. Вдвоем Вам под столом совсем тесно будет ... ноги некуда поставить ...  увы, не по своей воле ...  :oops:    
А если серьезно, только в беседе можно достигнуть понимания, а не уходя от нее. Я могу наговорить глупости, надеюсь, Вы поймете, простите, и исправите меня.

Я могу написать глупости, потому что читала достаточно давно по устаревшим источникам, и не до конца осознавая написанное. И пишу собственные мысли.
Как понимаю, берется релятивистски инвариантное уравнение Клейна-Гордона и ищется решение. Решение может искаться в виде скалярной функции, или 3-х компонентной векторной функции (бозоны), или в виде двухкомпонентной функции, соответствующей проекциям спина +-½. В последнем случае уравнение линерализуется с помощью матриц Паули, этот последний случай и есть уравнение Дирака.

Здесь поле - волновая функция вероятности, не физическое ЭМ поле. Почему двухкомпонентная? Думаю, облако вероятности вытягивается вдоль мировой линии  и симметрично относительно этой оси. Тогда для его описания нужны две независимые компоненты функции  вероятности: вдоль оси и перпендикулярно ей. При чем здесь спин? Спин может отражать осевую симметрию, правое и левое вращение вокруг оси.

Да, Вы сейчас делаете правильные рассуждения, но не относительно решений, а относительно уравнений. Спины сидят в уравнениях, а не решениях. Смотрите, что такое релятивистки инвариантное уравнение? Это такое уравнение, в которое пространственные и временные части входят равноправно (необходимое, но не достаточное условие). Так как физические волновые поля без гравитации, по каким-то причинам описывается линейными дифференциальными уравнениями порядка не выше второго, то есть только два варианта: линейное и квадратичное по производным уравнения. Квадратичное – спин единица или ноль, линейное – спин ½. Т.е спины заведомо задаются руками в уравнениях, а не являются следствием решений.
На счет функции вероятности. Объясните, ради бога, каким боком Вы ее сюда тяните? Мы говорим о классических уравнениях и классических полях, там нет никакой вероятности. Вероятность, как одна из интерпретаций, появляется в квантах.

Из Вики:

Я не физик, но попробую что-то сказать:
Ур. Клейна — Гордона,  определяется по заданным условиям  для безспинновых кв. частиц/полей.

Если надо на её основе искать решение для фермионов (s=1/2), то придём к уравнению Дирака.
T.e ACT хочет сказать - каждое из уравнений в условиях уже имеет заданый спин.

PS. Кстати в русскоязычной Вики есть много неточностей (мягко говоря).

Нет, решения не могут выходить за рамки уравнения. Например, если уравнение скалярное второго порядка, то спин ноль.
Я же написал «необходимое, но недостаточное условие». Надеялся, о банальных вещах типа метрики или, если угодно, правиле введения дополнительной равноправной ортогональной координаты рассказывать не нужно.
Как где? Одного взгляда на уравнение хватает, чтобы сказать, что оно описывает безспиновое волновое поле. Я страницей ранее объяснял, что такое спин. Зачем ходить по кругу?
Уравнение Дирака – классическое волновое уравнение для поля свободных частиц с половинным спином. Статистика появится позже, при квантовании системы в потенциале.
Совершенно верно. Только точнее сказать не в условиях, а в порядке уравнений по производным. Если уравнение второго порядка – то спин целый, первого полуцелый.
Это не однозначно. Конечно, можно поизвращаться и придти от такой постановки к линейному уравнению, если заведомо знать ответ. Но это будет просто трюк. Квадратичные и линейные уравнения – разные вещи и их решения описывают разные поля. Что Вы понимаете под двухкомпонентным полем?