Почитайте здесь Рефлексия концепции физики.

Это полная первая производная векторного потенциала А (зависящего только от(t-x/c),(А - векторный потенциал вектора (Н) )) по времени (в каждой точе пространства, по которым "прокатывается" рассматриваемая плоская ЭМ волна) Причём, видно (t-x/c), что скорость прокатывания равна (С). Этот потенциал (векторного поля (Н)) тоже "прокатывается" по точкам пространства, по мере того, как ЭМ волна бежит (по мере течения времени (t) ) и "прокатывается" по точкам пространства. Такова её динамика Но уравнения Максвелла можно представлять и не обязательно с использованием понятий векторного потенциала.

Конкретно в случае рассматриваемой плоской волны векторный потенциал не зависит от координат (y) и (z), то есть его  частные производные  (в любой момет времени и в любых точках пространства) по этим координатам равны нулю, а частная производная по координате (х) имет права быть не равной нулю, и полная производная векторного потенциала  (А) по времени тоже имеет права не равняться нулю. То есть плоские  волны, бегущие вдоль оси (х), разных форм и амплитуд имеют права быть и при этом удовлетворять этим уравнениям и условиям. Такие вонны в данном абзаце и рассматриваются (другие здесь запрещены указанными условиями).Уравнения Максвелла им так разрешают (так себя вести в классической модели электродинамических процессов). Но синусоидальная плоская волна, это не единственное решение, есть и другие формы плоских волн, которые также удовлетворяют этим уравнениям и условиям.Их модули в плоских волнах пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным волновому сопротивлению вакуума. Я знаю, что в случае плоской волны (в чистом виде, без интерференций) это так,  такова природа ЭМ поля и его динамики, которая математически описывается (известными)  уравнениями Максвелла. А что до каких-то доказательств кому-то, то действительно, я никак не педагог-преподаватель-экзаменатор и не агитатор, и это не моя функция, я была обучена всего лишь на инженера электрика, которому по работе достаточно уметь "показывать и объяснять  (бесстыжим)" деталям и материалам то, как им "надо" по моему "веленью"  собираться в такие-то системы и правильно выполнять ТЗ.

А вот и для полного понимания не совсем так.
Вообще производные от y- и z-компонент векторного потенциала A не равны нулю. Компоненты Ay и Az меняются. Равна нулю только производные по времени от x-овой компоненты Аx, причем в ЛЛ2 принимается, что и Ах = 0 тоже (это предположение не обязательно). Также потенциал фи c его производными тоже равен нулю.
Производные от y- и z-компонент векторного потенциала A как раз и дают вклад в виде уравнений
E=-1/c * dA/dt
H=rot(A)
Но частные производные от компонент Ay и Az по координатам (y) и (z) в плоской волне, как Вы и пишите, действительно равны нулю. Не равны нулю производная по времени и ротор, что и написано в этих уравнениях.

Выражение
H=[grad A] = [grad (t-x/c) A'] = -1/c [n A']
означает, что векторное произведение оператора градиента на вектор А  то же самое, что и векторное произведение единичного вектора n, направленного вдоль распространения волны, на производную dA/dt. Почему это записывается в такой форме, я вроде понимаю, но не настолько хорошо, чтобы объяснить.

Подставляем E = -1/c * A' в H= -1/c [n A']
получаем H = [n E], что и требовалось доказать.