М-да... Все посмотрели, и форумные физики промолчали. А я тем временем сама разобралась.
Получается, форумным физикам двойка за неспособность решить учебную задачу по физике, отличающуюся от научпопа?

Подождала ещё немного, в надежде, что кто-нибудь откликнется, но нет, напрасно. CASTRO скорее всего молчит, потому что ничего не понял. Если бы CASTRO понял, то написал, - я на него действую, как красный плащ матадора. Не очень то и удивительно: CASTRO - экспериментатор, мог и не понять Да и бог с ним, в первый раз, что ли, он меня не понял.  ВЕТЕР ПЕРЕМЕН молчит из-за приписки, приделанную мне из-за CASTRO, и не считает нужным вообще со мной разговаривать.

Ну ладно, всё-таки задачу надо разобрать и пояснить, для тех, кто ничего не понял.
Выражение

встречается не только в данной книге, его можно увидеть и в Википедии на английском языке.  

Лямбда - это матрица преобразований Лоренца, выглядит она так:

где:



Видно, что матрица преобразований Лоренца - симметричная матрица, так что транспонировать её математически вообще не имеет смысла.

Эта - метрический тензор пространства-времени Миньковского и выглядит так:


Здесь X - вектора пространства-времени.

Пространственно-временной интервал находится по формуле


Если мы применим преобразования Лоренца к векторам, то формально и получим формулу


Так откуда же проблема?

Проблема в том, что для нахождения пространственно-временного интервала перемножаются ковариантный и контравариантный вектор. Контравариантный вектор преобразуется матрицей Лоренца, которая приведена выше, а вот ковариантный вектор, (или если точно следовать учебнику, ковариантная форма,, а не вектор), преобразуется немного другой матрицей - обратной матрицей преобразований Лоренца, в которой скорость бета имеет противоположный знак. Понятно, что обратная матрица Лоренца тоже симметрична, и её транспонирование математически не имеет смысла.

Таким образом, в формуле вместо буковки "Т" строго говоря, должно стоять "-1".

Но физики в своих обозначениях отличают штрихом индекс системы отсчета в которую преобразуется  от системы отсчета из которой преобразуется. Поэтому формальная перестановка штрихованного индекса у лямбда означает другую матрицу Лоренца (т.е. обратную матрицу). Если не выписывать матрицы покомпонентно, то формально это выглядит просто как перестановка индексов, т.е. как транспонирование матрицы, и физики пишут букву "Т" вместо "-1".

-------------------

Мне пришлось покомпонентно всё расписать, посчитать определитель и обратную матрицу Лоренца, всё перемножить, и убедиться, что это действительно так. Выкладки здесь приводить не буду, слишком длинно, да и вряд ли кому-то будет интересно.

Из постановки задачи было не понятно, что именно надо получить, и как это надо сделать. Так как индексы в выражении не указаны, сначала я выписала матрицы и "в лоб" по правилам умножения матриц перемножила по-порядку справа налево  все три матрицы  и не получила правильного результата. Тогда у меня стали появляться разные версии опечатки в тексте учебника. К задачке вернулась на Упражнении 3.13 в) в котором опять указывалась эта формула. Короче, исписав почти две старые школьные тетрадки (по 18 листов)  перемножением матриц, вычислением определителей и нахождением обратной матрицы, до меня, наконец, дошло, что именно хотели от меня авторы книги в Упражнении 2.7. Методом "жонглирования индексов" Упражнение 2.7 решается в одну строчку.

Сейчас тупо не понимаю, что от меня хотят авторы книги в Упражнении 3.13 в). Вроде бы интуитивно понятно, и ответ известен, а что надо сделать - не понятно.

В общем, у меня ответ не сошелся, потому что стандартное математическое правило перемножения матриц "строка на столбец", которым я пользовалась, отличается отличается от того, как и зачем надо это делать по физическому смыслу, и отличается от правила Эйнштейна свёртывания по индексам.