Вероятностная интерпретация волновой функции очень подходит.
Становится понятным смысл нормировки волновых функций с помощью интеграла.  Вероятность не может быть больше 1.
Разложение волновой функции по собственным функциям тоже понятна. Но по смыслу отличается от разложения обычного пространственного вектора по базису. В отличие от обычной алгебры, для вероятности операция умножения это "И", а сложение "ИЛИ".    Волновая функция в состоянии суперпозиции связывется с собственными функциями не алгегебраическим сложением, а логической операцией "ИЛИ". Разложение выглядит как
Пси = (Пси1 и А1) ИЛИ (Пси2 и А2) ИЛИ (Пси3 и А2) ИЛИ ...
Операция ИЛИ может быть взаимоисключающим, например, Шрёдингеровский кот может быть " жив ИЛИ мертв". Это не противоречит здравому смыслу, и все становится на свои места.
Операция ИЛИ также может означать неустойчивое состояние системы в состоянии суперпозиции, которая в любой момент от "взмаха крыла бабочки" может скатиться к одному из своих собственных состояний. Карандаш, установленный вертикально, неизбежно упадёт в какую-нибудь одну сторону.

С другой стороны, математически любую функцию, т.е. все что угодно можно разложить в ряд или интеграл Фурье, т.е. представить в виде сложнения волновых функций. Табуретку тоже можно разложить в бесконечный ряд Фурье. Но табуретки не подчиняются  принципу суперпозиции, в одном месте пространства в одно и то же время не могут находиться две табуретки. В отличие от волн, табуретки, так же как и электроны, подчиняются принципу Паули и статистике Ферми-Дирака.  

Представим себе спортивный зал, заполненный табуретками, и два монстра в непробиваемых костюмах, которые беспорядочно кидаются табуретками. В воздухе так быстро летают табуретки,  что наблюдатель не успевает за ними проследить. Наблюдатель описывает увиденное в виде функции плотности распределения табуреток,  которую разлагает в ряд Фурье, и пытается разобратся с тем, как выглядит 1 табуретка, и из какого материала она сделана.

Монстры - это электромагнитные поля, а табуретки - электроны. Так как электронами двигают поля, отсюда тоже следует, что плотность вероятности распределения электронов имеет волновой характер.