Вот сферу крутим, крутим, а видим только одну сторону - внешнюю. А внутреннюю никогда не видим, а она есть .

Мы с разных трехмерных сторон видим одну и ту же сторону ленты Мебиуса.

Это да. Мы увидим противоположную поверхность человечка.

Тогда вопрос о непрерывности.
Я представлял себе так:
Пусть на поверхности есть две точки. Если их сближать и угол между ними есть, видимо, непрерывная функция растущая в пределе до 180, то это одна поверхность.
Вот на сфере так получается, а на гранях куба угол не растёт.

Не, так не получится. Угол между внутренней и наружной поверхностью сферы меняется так-же, а стороны разные