Я немного не понял, в чем именно вопрос состоит. Что площадь сферы так относится к площади круга, я уверен, вы и сами знаете из формул ( 4пи эр квадрат к просто пи эр квадрат).

Вопрос в том, почему так получается, и почему именно такие соотношения? Ну тут две плоскости ответа. Во-первых, можно просто руками проинтегрировать поверхности круга и площадь поверхности сфера, и из вычислений увидеть, как получается такой ответ.

С кругом там вообще все элементарно - площадь его элементов рассматриваем как квадратики длиной dr и шириной r dy, после чего интегриуем r от 0 до R и dy от нуля до 2пи. Получаем R квадрат пополам, умноженный на 2пи. Сокращаем двойки, получаем известное выражение.

Для сферы чуть сложнее. Длина элемента дуги вдоль долготы равна R sin(q) dy, длина вдоль широты R dq, интегрируем от 0 до 2пи и от -пи/2 до +пи/2. Два косинуса от +/- пи/2 дадут 1+1=2, вторая двойка от 2пи, в итоге имеем снова знакомые 4пи R квадрат.

Это одна плоскость, и вычислений ручками. В другой плоскости можем посмотреть на конечный результат в общем случае объема и плоскости гиперсфер соседних размерностей. В этом случае, если взять и все посчитать, то всякие R и пи посокращаются, и получится простое рекурентное соотношение:


Вот, именно то, что вы хотели. В случае n = 3 получаем как раз вашу 1/4. Ну и заодно видим, что для гиперсфер это отношение всегда является рациональным (пи в выражении отсутствует, оно сокращается).

Тут главное не запутаться в терминах и понятиях. Давайте считать.

V1 - это количество одномерного пространства, ограниченного двумя точками. Что по формуле, что просто логически рассуждая, имеем один и тот же ответ:

V1 = 2

S1 - это площадь одномерной поверхности гиперсферы (обычной окружности), вложенной в двумерное пространство (обычная плоскость).

S1 = 2пи, обычный известный нам периметр обычной окружности

V2 - это количество двумерного пространства, ограниченного одномерным множеством точек, равноудаленных от заданной.

V2 = 2пи / (1 + 1) = пи, обычная известная нам площадь обычной окружности.

S2 - площадь двумерной поверхности гиперсферы (обычной сферы), вложенной в трехмерное пространство (наше обычное 3D).

S2 = 2пи * 2 = 4пи, обычная площадь обычной сферы.

V3 - это количество трехмерного пространства, ограниченного двумерным множеством точек, равноудаленных от заданной.

V3 = 4пи / (2 + 1) = 4/3 пи, обычный объем обычной сферы.

Ну само собой. Для всех других случаев просто домножаем на R соответствующей степени.

Почему не может? Прекрасно получается.
S2 = 4пи
V(2+1) = S2 / (2 + 1) = 4пи / (2 + 1) = 4/3 пи
Если вы имеете в виду, что там еще степень R должна фигурировать, то, само собой, надо в этом случае писать
S2 = 4пи R*R
V(2+1) = R * S2 / (2 + 1)
И так все получится.

Удивительно, что объем единичного шара и площади гиперсферы имеет максимум при размерности 5, и стремится к нулю при больших размерностях. При этом объем гиперкуба с длиной ребра 1 остается равным 1.

Если вообразить возникновение нечто в бесконечномерном пространстве, стремящегося к максимальному сферическому расширению, и способного менять свою размерность, то это нечто будет стремится к размерности 5.