Я думаю так. Просто уравнения движения надо было написать для волн вероятности, которая была известна из эксперимента. Но вероятность не подчиняется обычным алгебраическим законам, не складывается и не умножается как обычные числа, область значений вероятности ограничена от нуля до единицы. Тогда и понадобилась комплексная волновая функция с мнимой частью, в виде экспоненты, которая подходит для решения дифференциальных уравнений, кроме того, в показателе которой импульсы и энергии складываются без труда. С помощью экспонент можно описать синусоидальные колебания, а "квадрат" волновой функции убирает мнимость, и все это вместе подошло к нужным свойствам для описания вероятности.
Были использованы комплексные представления чисел для описания волн вероятности, так же, как используются комплексные представления для описания круговой поляризации фотона.
Подстановка же собственных функций в уравнения Шредингера и Дирака дает обычные классические уравнения движения.

Тем более,что Шрёдингер сам сознавался,что угадал своё уравнение(но несомненно,что он знал волновое уравнение нагруженной струны).А Дирак выводил своё уравнение уже на основе волновой функции,ранее введенной Шрёдингером в своём уравнении.Кстати, в своё время Планк тоже угадал своё уравнение(несомненно зная результаты Рэлея,Джинса,и Вина).Похоже,что это интуиция,на основе богатого опыта.

А что значит берутся?

Ну, понеслось...