Тензор Риччи - свертка, описывает только изменение объема.
Например, берем лист бумаги, сгибаем его, мнем. Объем (= площадь поверхности ) не меняется, но меняется форма листа. "Форма листа" не входит в  Риччи.В отстутстствии материи уравнение Эйнштейна превращается в чистую геометрию - устанавливает геометрическую связь между тензором Риччи и метрическим тензором, умноженном на константу - скалярную кривизну.
Других компонентов тензора Римана в гравитации нет - они свернуты.

Ветер, не нужно передергивать - вряд ли Вы действительно не понимаете, что когда имелось в виду поле электростатическое. Я не мог предположить, что за эту неточность кто-то уцепится, и поправлять не стал, Вы же однако не упустили возможность вставить "шпильку".
Впрочем... Может я ошибаюсь, и тогда Olginoz, надеюсь, исправит оплошность: Масса для гравитации, то же, что заряд для электромагнитного поля.

Я имела ввиду электрическое поле без магнитного.  

Ничего страшного в такой аналогии нет. Ничуть не хуже аналогии пространства с раздувающимся шариком. Вполне наглядно и понятно. Что делать, большинство людей мыслят двумерными поверхностями.
Ну, что написано, то и полагали  
Это все здесь не причем. Любые гладкие преобразования метрики к новым полям не приводят. Другими словами, электрическое поле из метрики четырехмерного пространства таким способом не слепить. Совсем примитивно дело можно представить так, что у нас есть некая матрица 4x4 все ячейки которой уже заполнены. Добавить туда уже ничего не получиться. Можно просто увеличить число ячеек и сделать матрицу, скажем, 5x5. Тогда в новые ячейки можно заполнить новым полем. Естественно, метрический тензор это не матрица, но для наглядности такое представление пойдет. Смысл в том, что электромагнитное поле может быть только внешним по отношению к топологически однородному четырехмерному пространству заполненному (порожденному) гравитацией. Т.е. если мы хотим придерживаться гладкой метрики и оставаться в рамках геометрической интерпретации физических полей, нам необходимо все время повышать размерность пространства, чтобы включать в него новые взаимодействия. Можно пойти по-другому и предположить возможность существования локальных изменений топологии в четырехмерном пространстве и каждому типу топологического разрыва поставить в соответствие свое взаимодействие. Такой путь, вообще говоря, приводит к сингулярностям и в некотором смысле к дискретности пространства-времени. Но на мой взгляд он наиболее соответствует действительности. Все-таки опыт – критерий истины. А он показывает, что именно такой сценарий реализуется в модельных пространствах меньших размерностей.