Поэтому я не понимаю, что здесь значат термины ни "плотность значения", ни "плотность значений", и в чем их существенная разница.

Мозги надо включать, а не воображение. В данном случае у нас под знаком предела стоит выражение типа kx/х, которое, естественно, в пределе дает k и никакой неопределенностью типа ноль на ноль не является.

Нет, ну правда, неужели так сложно взять учебник по матанализу за первые курсы и освежить память? Обязательно писать черти что?

Именно это и имелось в виду. Речь идёт об определённости значения в известной области. Плотность как среднее значение на уровне.
В общем случае градиент - это нормаль к поверхности уровня, в частном - радиальное направление.
Напротив, именно идентичные понятия, особенно в данном случае, так как градиент характеризует скорость изменения функции, то есть производную.
Ошибаетесь. Градиент, то есть, вектор и является производной неоднородного скалярного поля и характеризует эту неоднородность, как по величине, так и по направлению в каждой отдельной точке. Следовательно, скалярное поле порождает векторное известного градиента.
Объясните подробно.

Я этого не говорил. Имелось в виду, что с этой страницы раскрывается векторный анализ.