Ну, да ...   Так это в  своей теоретической части и есть та часть объяснения, о которой я говорил вверху. Та часть, которая обосновывает, что из себя представляет середина магнита,  который является металлическим цилиндром, и у которого полюса находятся на его торцах.  Ведь нужно не практически  определить, который из металлических цилиндров является магнитом, путем  манипуляций ими, а сперва уверенно это дело обосновать теоретически, - так, чтоб практически сразу уверенно и наверняка только одну  манипуляцию и сделать. И Вы, ув. N T, совершенно правы, уточнив, что надо было еще в условии задачи сказать о том, что полюса магнита  в данном случае  находятся на его торцах:
Так, что, конечно, извиняюсь.  Просто подумал, что это и так у всех в подсознании  именно  вариант  < вдоль оси цилиндра >  в мозгах сидит.  

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Не выпихнуть, а притянуть.

Если взять магнит и совершенно плоский не магнит, и поднести магнит к плоскости, то плоскость работает как зеркало, создает отражение поля противоположного знака. Магнитные линии расположатся так, как будто за линией поверхности такой же магнит, но с противоволожными полюсами.

Если вы к середине магнита, между его полюсами, подносите конец немагнитного цилиндра, то магнит находится в неустойчивом положении, потому что "видит собственное отражение противоположного знака" в боковых поверхностях немагнитного цилиндра, притягивется к нему обоими полюсами, но небольшое смещение выводит его из состяния равновесия, и он притягивается к не магниту тем полюсом, который расположен ближе, и потому он поворачивается.

На перпендикуляре проходящем через середину магнитного стержня все силовые линии МП параллельны оси магнита. Т.е. немагнит на этом перпендикуляре испытывает притяжение только к концам магнита и нисколько к середине или другим частям. Поскольку немагнит (магнитомягкий стержень) одинаково притягивается к обоим полюсам, то магн силы на этом перпендикуляре уравновешиваются и никто никого не притягивает.
Два условия:
- Немагнитный стержень надо подносить "достаточно посередине". Я подносил примерно посередине  и никакого действия магнитного поля не обнаружил.
- Немагнит должен быть действительно немагнитом. Если подносимый стержень имеет свое поле, то никакого баланса сил на перпендикуляре проходящем через середину магнита не будет. И стержень притянется или развернёт магнит одним из полюсов.

"И притянуть, и выпихнуть"...
Пётр ещё забыл указать, что за металлические цилиндры. Из какого металла немагнитный цилиндр: ферромагнетик, диамагнетик, парамагнетик и пр.
Так например висмут и сурьма отталкиваются магнитным полем, а железо, никель, кобальт - притягиваются.

---
Я тут недавно попался на "магнитной мешалке". Положил на неё кусок алюминия, а он... притягивается и вращается в направлении вращения магнитного ротора.    Я на какое-то время опешил и первая мысль была такой: "а не содержится ли в этой "алюминьке" железо?" Попробовал кусок фольгированного текстолита - тот же эффект. Пришлось включать мозг...
В результате понял (или вспомнил)...
Но факт в том, что первая мысль была ошибочной. В голове какое-то время зациклилась связка "магнит - железо"... 8)