| Цитата |
|---|
N T пишет:
Т.е. в центре земли вся потенциальная энергия переходит в кинетическую,
откуда скорость в центре земли равна :
(m1*V^2)/2 = g*m1*R;
V^2 = 2*g*R;
Т.е. в центре Земли развивается 2 космическая скорость, вроде тело должно опустить
притяжение Земли, однако по достижению поверхности на другой стороне Земли,
эта кинетическая переходит в потенциальную и процесс повторяется.
В этих рассуждениях есть ошибка? Или всё правильно? |
Да, есть ошибки, давайте их вместе исправим, решая задачу с самого начала.
Итак, Вы исходите из того, что F = - G mM/R^2 (здесь минус означает, что сила направлена к началу координат). Это верно, но дьявол кроется в деталях. Что именно за М здесь стоит? Подразумевается, что это "точечная" масса, которая полностью сосредоточена в начале координат. Остановимся подробнее на том, что я имею в виду.
Пусть тело массой m находится на сфере радиуса R. Тогда, согласно теореме Гаусса (Остроградского), притяжение будет создаваться только той частью массы Земли, которая находится под сферой радиуса R. Иными словами, в случае падения тела в центр Земли с ее поверхности величина M есть функция R, т.е. M = f ( R ), а вовсе не M = const ( R ). А раз так, то при падении в центр Земли и выражение для потенциальной энергии будет иметь совсем другой вид. В самом деле, ведь "обычное" выражение для U ( R ) мы получаем, интегрируя F = - G mM/R^2 между точками R1 и R2 и считая, что M = const ( R ), а здесь это уже не так.
А как тогда? Пусть плотность Земли постоянна по ее объему (в реальности это не так, но нам важно понять суть, как вообще решать задачу в этом случае) и равна ρ = const ( R ). Тогда M = 4/3 πρ R^3 (произведение плотности на объем сферы). Здесь мы принимаем во внимание только ту часть массы Земли M, которая находится
под сферой радиуса R, остальная же часть
вне сферы по теореме Гаусса притяжения не создает. Как тогда изменится формула для силы притяжения? Она примет следующий вид (подставляем M):
F = - 4/3 πρ GmR
Теперь вспоминаем, что F = ma = m dV/dt, а поскольку dt = dR / V, то в итоге приходим к следующему выражению (подставляем все вместе):
V dV = - 4/3 πρG R dR
Тело падает с поверхности Земли в ее центр, имея начальную скорость падения равную нулю. Исходя из этого интегрируем левую часть от 0 до Vз, а правую от Rз до 0. Получаем.
(Vз^2)/2 = 4/3 πρ G (Rз^2)/2.
Выделяя в правой части массу Земли равную M = 4/3 πρ R^3, возвращаемся от плотности к полной массе планеты и получаем (сокращая двойки в знаменателе):
Vз^2 = GM / Rз
Как видим, эта величина ровно в два раза больше той, которая получилась у Вас, исходя из "неправильного" вида потенциальной энергии, а именно Vз^2 = 2 GM / Rз. Впрочем, если бы плотность также имела бы вид ρ = f' ( R ), т.е. зависела бы от R и, например, увеличивалась бы к центру, то мы бы получили нечто промежуточное между этими двумя результатами.
