Почти всю необходимую фактологию для составления
уравнения протона подтянули.

Уравнение будет дифференциальным в частных производных.
А что является решением дифференциальных уравнений?
Правильно - функции.

И стоит вопрос типа дифференциального уравнения и типа
функций, описывающих распределение потенциалов по
границе протона. Что очень важно, тип функций и тип уравнения
тесно связаны. Собственно классы специальных функций
(полиномов) и есть обычно решения каких-то уравнений.

Математики! Ау! Подскажите какой тип уравнений и какой
тип функций здесь может подойти.

А теперь наиболее интересное...

Надо иметь ввиду, что все четыре уравнения, над которыми идёт
работа в открытом режиме, тесно между собой связаны.

Обратив внимание на спектры атомов (для начала спектр водорода),
необходимо иметь сразу же в виду, что такие явления однозначно
говорят о том, что атом водорода (в нашем случае протон в особом
состоянии распределения атомных потенциалов) есть ничто иное как

РЕЗОНАТОР

Именно этот факт может стать основой для проявления уравнения
протона.

Резонаторами будут и другие атомы. А у резонаторов есть такая
характеристика как добротность.  Она собственно и будет
определять период полураспада тех или иных элементов.

В целом все это относится к Третьему атомному закону, но
основа его - все тот же протон, его структура и свойства.

Продолжим работу над первым атомным законом.
Попробуем все же его реализовать в виде линейного уравнения.

В свой время для построения признанных в настоящее время
теоретических набросков сыграли спектры и их математическое
описание. Причем все это было сделано ещё до открытия
как электрона, так и ядра.

Можно посмотреть следующую лекцию об этом

https://www.youtube.com/watch?v=_Oq8nho69IM

Очень неплохой, кстати, курс. Особенно мне понравилась последняя
лекция про нейтрино.

Именно этот спектр водорода и может стать основой для выведения
уравнения Первого атомного закона. По крайней мере спектр должен
вытекать из этого уравнения.

То есть нужен новый Бальмер, чтобы отразить спектр через
распределение атомных потенциалов.

Ждём подключения талантов... может и на спор.

Собаки лают, караван идёт дальше.

Итак, радиус протона для Субстанциональной теории атома
из экспериментальной физики берется тот, что определяется
электрическими методами. Для начала моделирования этого
достаточно. Когда появится Первый атомный закон хотя бы
в примерном виде, можно будет уточнить все остальное.
Форма выделенной границы описания протона пока взята в виде
идеальной сферы, но она может быть и в виде ежа или ещё как.
Но это уже при уточнении.

Любая теоретическая модель, будь она трижды хорошая,
лишь какое-то приближение реальности с некоторой точностью,
к тому же имеет диапазон применимости. Субстанциональная
теория атома в том числе.